Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{576} - \frac{y^{2}}{49} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{x^{2}}{576}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y^{2}}{49} = 1 - \frac{x^{2}}{576}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 49$ .

$- 49 (- \frac{y^{2}}{49}) = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $- 49 (- \frac{y^{2}}{49})$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común de $49$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y^{2}}{49}$ al numerador.

$- 49 \frac{- y^{2}}{49} = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Paso 3.1.1.1.2

Factoriza $49$ de $- 49$ .

$49 (- 1) \frac{- y^{2}}{49} = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Paso 3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$49 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{49} = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Paso 3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - y^{2} = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Paso 3.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Paso 3.1.1.2.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $- 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = - 49 \cdot 1 - 49 (- \frac{x^{2}}{576})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 49$ por $1$ .

$y^{2} = - 49 - 49 (- \frac{x^{2}}{576})$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 49 (- \frac{x^{2}}{576})$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 49$ .

$y^{2} = - 49 + 49 \frac{x^{2}}{576}$

Paso 3.2.1.3.2

Combina $49$ y $\frac{x^{2}}{576}$ .

$y^{2} = - 49 + \frac{49 x^{2}}{576}$

Paso 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 49 + \frac{49 x^{2}}{576}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{- 49 + \frac{49 x^{2}}{576}}$ .

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Paso 5.1

Reescribe $49 x^{2}$ como ${(7 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 49 + \frac{{(7 x)}^{2}}{576}}$

Paso 5.2

Reescribe $576$ como $24^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 49 + \frac{{(7 x)}^{2}}{24^{2}}}$

Paso 5.3

Reescribe $\frac{{(7 x)}^{2}}{24^{2}}$ como ${(\frac{7 x}{24})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 49 + {(\frac{7 x}{24})}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 7^{2} + {(\frac{7 x}{24})}^{2}}$

Paso 5.4.2

Reordena $- 7^{2}$ y ${(\frac{7 x}{24})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{7 x}{24})}^{2} - 7^{2}}$

Paso 5.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{7 x}{24}$ y $b = 7$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{7 x}{24} + 7) (\frac{7 x}{24} - 7)}$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Factoriza $7$ de $\frac{7 x}{24} + 7$ .

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Paso 5.6.1.1

Factoriza $7$ de $\frac{7 x}{24}$ .

$y = \pm \sqrt{(7 \frac{x}{24} + 7) (\frac{7 x}{24} - 7)}$

Paso 5.6.1.2

Factoriza $7$ de $7$ .

$y = \pm \sqrt{(7 \frac{x}{24} + 7 (1)) (\frac{7 x}{24} - 7)}$

Paso 5.6.1.3

Factoriza $7$ de $7 \frac{x}{24} + 7 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{7 (\frac{x}{24} + 1) (\frac{7 x}{24} - 7)}$

Paso 5.6.2

Factoriza $7$ de $\frac{7 x}{24} - 7$ .

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $7$ de $\frac{7 x}{24}$ .

$y = \pm \sqrt{7 (\frac{x}{24} + 1) (7 \frac{x}{24} - 7)}$

Paso 5.6.2.2

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$y = \pm \sqrt{7 (\frac{x}{24} + 1) (7 \frac{x}{24} + 7 (- 1))}$

Paso 5.6.2.3

Factoriza $7$ de $7 \frac{x}{24} + 7 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{7 (\frac{x}{24} + 1) (7 (\frac{x}{24} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{7 (\frac{x}{24} + 1) \cdot 7 (\frac{x}{24} - 1)}$

Paso 5.6.3

Multiplica $7$ por $7$ .

$y = \pm \sqrt{49 (\frac{x}{24} + 1) (\frac{x}{24} - 1)}$

Paso 5.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \pm \sqrt{49 (\frac{x}{24} + \frac{24}{24}) (\frac{x}{24} - 1)}$

Paso 5.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{49 \frac{x + 24}{24} (\frac{x}{24} - 1)}$

Paso 5.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{24}{24}$ .

$y = \pm \sqrt{49 \frac{x + 24}{24} (\frac{x}{24} - 1 \cdot \frac{24}{24})}$

Paso 5.10

Combina $- 1$ y $\frac{24}{24}$ .

$y = \pm \sqrt{49 \frac{x + 24}{24} (\frac{x}{24} + \frac{- 1 \cdot 24}{24})}$

Paso 5.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{49 \frac{x + 24}{24} \frac{x - 1 \cdot 24}{24}}$

Paso 5.12

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$y = \pm \sqrt{49 \frac{x + 24}{24} \frac{x - 24}{24}}$

Paso 5.13

Combina exponentes.

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Paso 5.13.1

Combina $49$ y $\frac{x + 24}{24}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{49 (x + 24)}{24} \cdot \frac{x - 24}{24}}$

Paso 5.13.2

Multiplica $\frac{49 (x + 24)}{24}$ por $\frac{x - 24}{24}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{49 (x + 24) (x - 24)}{24 \cdot 24}}$

Paso 5.13.3

Multiplica $24$ por $24$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{49 (x + 24) (x - 24)}{576}}$

Paso 5.14

Reescribe $\frac{49 (x + 24) (x - 24)}{576}$ como ${(\frac{7}{24})}^{2} ((x + 24) (x - 24))$ .

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Paso 5.14.1

Factoriza la potencia perfecta $7^{2}$ de $49 (x + 24) (x - 24)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7^{2} ((x + 24) (x - 24))}{576}}$

Paso 5.14.2

Factoriza la potencia perfecta $24^{2}$ de $576$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7^{2} ((x + 24) (x - 24))}{24^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.14.3

Reorganiza la fracción $\frac{7^{2} ((x + 24) (x - 24))}{24^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{7}{24})}^{2} ((x + 24) (x - 24))}$

Paso 5.15

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{7}{24} \sqrt{(x + 24) (x - 24)}$

Paso 5.16

Combina $\frac{7}{24}$ y $\sqrt{(x + 24) (x - 24)}$ .

$y = \pm \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

$y = - \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

$y = - \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 24) (x - 24)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 24) (x - 24) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 24 = 0$

$x - 24 = 0$

Paso 8.2

Establece $x + 24$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $x + 24$ igual a $0$ .

$x + 24 = 0$

Paso 8.2.2

Resta $24$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 24$

Paso 8.3

Establece $x - 24$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $x - 24$ igual a $0$ .

$x - 24 = 0$

Paso 8.3.2

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 24$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 24) (x - 24) \geq 0$ verdadera.

$x = - 24, 24$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 24$

$- 24 < x < 24$

$x > 24$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 24$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 24$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 26$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 26$ en la desigualdad original.

$((- 26) + 24) ((- 26) - 24) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$100$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 24 < x < 24$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 24 < x < 24$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 24) ((0) - 24) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$- 576$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 24$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 24$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 26$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $26$ en la desigualdad original.

$((26) + 24) ((26) - 24) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$100$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 24$ Verdadero

$- 24 < x < 24$ Falso

$x > 24$ Verdadero

$x < - 24$ Verdadero

$- 24 < x < 24$ Falso

$x > 24$ Verdadero

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 24$ o $x \geq 24$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 24] \cup [24, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 24, x \geq 24}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 24] \cup [24, \infty), {x | x \leq - 24, x \geq 24}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Paso 12