Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{144} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{x^{2}}{25}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y^{2}}{144} = 1 - \frac{x^{2}}{25}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 144$ .

$- 144 (- \frac{y^{2}}{144}) = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $- 144 (- \frac{y^{2}}{144})$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común de $144$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y^{2}}{144}$ al numerador.

$- 144 \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Paso 3.1.1.1.2

Factoriza $144$ de $- 144$ .

$144 (- 1) \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Paso 3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$144 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Paso 3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Paso 3.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Paso 3.1.1.2.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $- 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = - 144 \cdot 1 - 144 (- \frac{x^{2}}{25})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 144$ por $1$ .

$y^{2} = - 144 - 144 (- \frac{x^{2}}{25})$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 144 (- \frac{x^{2}}{25})$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 144$ .

$y^{2} = - 144 + 144 \frac{x^{2}}{25}$

Paso 3.2.1.3.2

Combina $144$ y $\frac{x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = - 144 + \frac{144 x^{2}}{25}$

Paso 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{144 x^{2}}{25}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{- 144 + \frac{144 x^{2}}{25}}$ .

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Paso 5.1

Reescribe $144 x^{2}$ como ${(12 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{{(12 x)}^{2}}{25}}$

Paso 5.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{{(12 x)}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 5.3

Reescribe $\frac{{(12 x)}^{2}}{5^{2}}$ como ${(\frac{12 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 144 + {(\frac{12 x}{5})}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 12^{2} + {(\frac{12 x}{5})}^{2}}$

Paso 5.4.2

Reordena $- 12^{2}$ y ${(\frac{12 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{12 x}{5})}^{2} - 12^{2}}$

Paso 5.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{12 x}{5}$ y $b = 12$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{12 x}{5} + 12) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Factoriza $12$ de $\frac{12 x}{5} + 12$ .

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Paso 5.6.1.1

Factoriza $12$ de $\frac{12 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(12 \frac{x}{5} + 12) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Paso 5.6.1.2

Factoriza $12$ de $12$ .

$y = \pm \sqrt{(12 \frac{x}{5} + 12 (1)) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Paso 5.6.1.3

Factoriza $12$ de $12 \frac{x}{5} + 12 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Paso 5.6.2

Factoriza $12$ de $\frac{12 x}{5} - 12$ .

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $12$ de $\frac{12 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 \frac{x}{5} - 12)}$

Paso 5.6.2.2

Factoriza $12$ de $- 12$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 \frac{x}{5} + 12 (- 1))}$

Paso 5.6.2.3

Factoriza $12$ de $12 \frac{x}{5} + 12 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 (\frac{x}{5} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) \cdot 12 (\frac{x}{5} - 1)}$

Paso 5.6.3

Multiplica $12$ por $12$ .

$y = \pm \sqrt{144 (\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)}$

Paso 5.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \pm \sqrt{144 (\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)}$

Paso 5.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)}$

Paso 5.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}$

Paso 5.10

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}$

Paso 5.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} \frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

Paso 5.12

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} \frac{x - 5}{5}}$

Paso 5.13

Combina exponentes.

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Paso 5.13.1

Combina $144$ y $\frac{x + 5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5)}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}}$

Paso 5.13.2

Multiplica $\frac{144 (x + 5)}{5}$ por $\frac{x - 5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}}$

Paso 5.13.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{25}}$

Paso 5.14

Reescribe $\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{25}$ como ${(\frac{12}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

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Paso 5.14.1

Factoriza la potencia perfecta $12^{2}$ de $144 (x + 5) (x - 5)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}}$

Paso 5.14.2

Factoriza la potencia perfecta $5^{2}$ de $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.14.3

Reorganiza la fracción $\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{12}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}$

Paso 5.15

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{12}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5.16

Combina $\frac{12}{5}$ y $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$y = \pm \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 5) (x - 5) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 8.2

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 8.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 8.3

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 8.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 5) (x - 5) \geq 0$ verdadera.

$x = - 5, 5$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$((- 8) + 5) ((- 8) - 5) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$39$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 5) ((0) - 5) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$- 25$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$((8) + 5) ((8) - 5) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$39$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 5$ o $x \geq 5$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 5, x \geq 5}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 5] \cup [5, \infty), {x | x \leq - 5, x \geq 5}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Paso 12