Precálculo Ejemplos

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y + 16 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = - 3$ , $b = 12$ y $c = x^{2} - 8 x + 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (x^{2} - 8 x + 16))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot (x^{2} - 8 x + 16)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot (x^{2} - 8 x + 16)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot 16}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $- 8$ por $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 x^{2} - 96 x + 12 \cdot 16}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $12$ por $16$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 x^{2} - 96 x + 192}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.5

Suma $144$ y $192$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 x^{2} - 96 x + 336}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.6

Factoriza $12$ de $12 x^{2} - 96 x + 336$ .

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (x^{2}) - 96 x + 336}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza $12$ de $- 96 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (x^{2}) + 12 (- 8 x) + 336}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.6.3

Factoriza $12$ de $336$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot 28}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.6.4

Factoriza $12$ de $12 x^{2} + 12 (- 8 x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (x^{2} - 8 x) + 12 \cdot 28}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.6.5

Factoriza $12$ de $12 (x^{2} - 8 x) + 12 \cdot 28$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (x^{2} - 8 x + 28)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.7

Reescribe $12 (x^{2} - 8 x + 28)$ como $2^{2} \cdot (3 (x^{2} - 8 x + 28))$ .

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Paso 3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (3) (x^{2} - 8 x + 28)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (x^{2} - 8 x + 28))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.7.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (x^{2} - 8 x + 28))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{- 6}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{- 6}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{3}$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot (x^{2} - 8 x + 16)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot (x^{2} - 8 x + 16)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot 16}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $- 8$ por $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 x^{2} - 96 x + 12 \cdot 16}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $12$ por $16$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 x^{2} - 96 x + 192}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.5

Suma $144$ y $192$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 x^{2} - 96 x + 336}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.6

Factoriza $12$ de $12 x^{2} - 96 x + 336$ .

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (x^{2}) - 96 x + 336}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.6.2

Factoriza $12$ de $- 96 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (x^{2}) + 12 (- 8 x) + 336}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.6.3

Factoriza $12$ de $336$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot 28}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.6.4

Factoriza $12$ de $12 x^{2} + 12 (- 8 x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (x^{2} - 8 x) + 12 \cdot 28}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.6.5

Factoriza $12$ de $12 (x^{2} - 8 x) + 12 \cdot 28$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (x^{2} - 8 x + 28)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.7

Reescribe $12 (x^{2} - 8 x + 28)$ como $2^{2} \cdot (3 (x^{2} - 8 x + 28))$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (3) (x^{2} - 8 x + 28)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (x^{2} - 8 x + 28))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.7.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (x^{2} - 8 x + 28))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{- 6}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{- 6}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{3}$

Paso 4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{3}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot (x^{2} - 8 x + 16)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot (x^{2} - 8 x + 16)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot 16}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $- 8$ por $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 x^{2} - 96 x + 12 \cdot 16}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $12$ por $16$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 x^{2} - 96 x + 192}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.5

Suma $144$ y $192$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 x^{2} - 96 x + 336}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.6

Factoriza $12$ de $12 x^{2} - 96 x + 336$ .

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Paso 5.1.6.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (x^{2}) - 96 x + 336}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza $12$ de $- 96 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (x^{2}) + 12 (- 8 x) + 336}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.6.3

Factoriza $12$ de $336$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot 28}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.6.4

Factoriza $12$ de $12 x^{2} + 12 (- 8 x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (x^{2} - 8 x) + 12 \cdot 28}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.6.5

Factoriza $12$ de $12 (x^{2} - 8 x) + 12 \cdot 28$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (x^{2} - 8 x + 28)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.7

Reescribe $12 (x^{2} - 8 x + 28)$ como $2^{2} \cdot (3 (x^{2} - 8 x + 28))$ .

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Paso 5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (3) (x^{2} - 8 x + 28)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (x^{2} - 8 x + 28))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.7.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (x^{2} - 8 x + 28))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{- 6}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{- 6}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{3}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{3}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{6 + \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{3}$

$y = \frac{6 - \sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}}{3}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{3 (x^{2} - 8 x + 28)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 (x^{2} - 8 x + 28) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Divide cada término en $3 (x^{2} - 8 x + 28) \geq 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 8.1.1

Divide cada término en $3 (x^{2} - 8 x + 28) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x + 28)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 8.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - 8 x + 28)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 8.1.2.1.2

Divide $x^{2} - 8 x + 28$ por $1$ .

$x^{2} - 8 x + 28 \geq \frac{0}{3}$

Paso 8.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x^{2} - 8 x + 28 \geq 0$

Paso 8.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 8 x + 28 = 0$

Paso 8.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 8$ y $c = 28$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 28)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.5.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 28$ .

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Paso 8.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 112}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.3

Resta $112$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.5.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.5.3

Simplifica $\frac{8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 8.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 8.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.6.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 28$ .

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Paso 8.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 112}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.3

Resta $112$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.6.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.6.3

Simplifica $\frac{8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 8.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 4 + 2 i \sqrt{3}$

Paso 8.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 8.7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.7.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 28$ .

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Paso 8.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 112}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.7.1.3

Resta $112$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.7.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.7.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.7.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.7.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.7.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.7.3

Simplifica $\frac{8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 8.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 4 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 8.8

Identifica el coeficiente principal.

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Paso 8.8.1

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$x^{2}$

Paso 8.8.2

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$1$

Paso 8.9

Como no hay intersecciones reales con x y el coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba y $x^{2} - 8 x + 28$ siempre es mayor que $0$ .

Todos los números reales

Paso 9

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0] \cup [4, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \leq 0, y \geq 4}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Rango: $(- \infty, 0] \cup [4, \infty), {y | y \leq 0, y \geq 4}$

Paso 12