Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (\sqrt[5]{\frac{x^{4} y}{9}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{\frac{x^{4} y}{9}}$ como ${(\frac{x^{4} y}{9})}^{\frac{1}{5}}$ .

$\log_{3} ({(\frac{x^{4} y}{9})}^{\frac{1}{5}})$

Paso 2

Expande $\log_{3} ({(\frac{x^{4} y}{9})}^{\frac{1}{5}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{5}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} \log_{3} (\frac{x^{4} y}{9})$

Paso 3

Reescribe $\log_{3} (\frac{x^{4} y}{9})$ como $\log_{3} (x^{4} y) - \log_{3} (9)$ .

$\frac{1}{5} (\log_{3} (x^{4} y) - \log_{3} (9))$

Paso 4

El logaritmo en base $3$ de $9$ es $2$ .

$\frac{1}{5} (\log_{3} (x^{4} y) - 1 \cdot 2)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{5} (\log_{3} (x^{4} y) - 2)$

Paso 6

Reescribe $\log_{3} (x^{4} y)$ como $\log_{3} (x^{4}) + \log_{3} (y)$ .

$\frac{1}{5} (\log_{3} (x^{4}) + \log_{3} (y) - 2)$

Paso 7

Expande $\log_{3} (x^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} (4 \log_{3} (x) + \log_{3} (y) - 2)$

Paso 8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{5} (4 \log_{3} (x)) + \frac{1}{5} \log_{3} (y) + \frac{1}{5} \cdot - 2$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{5} (4 \log_{3} (x))$ .

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Paso 9.1.1

Combina $4$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} \log_{3} (x) + \frac{1}{5} \log_{3} (y) + \frac{1}{5} \cdot - 2$

Paso 9.1.2

Combina $\frac{4}{5}$ y $\log_{3} (x)$ .

$\frac{4 \log_{3} (x)}{5} + \frac{1}{5} \log_{3} (y) + \frac{1}{5} \cdot - 2$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $\log_{3} (y)$ .

$\frac{4 \log_{3} (x)}{5} + \frac{\log_{3} (y)}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 2$

Paso 9.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 2$ .

$\frac{4 \log_{3} (x)}{5} + \frac{\log_{3} (y)}{5} + \frac{- 2}{5}$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 \log_{3} (x)}{5} + \frac{\log_{3} (y)}{5} - \frac{2}{5}$