Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} - 9 x - 9 y = 9$

Paso 1

Completa el cuadrado de $x^{2} - 9 x$ .

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Paso 1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 9$

$c = 0$

Paso 1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 9}{2}$

Paso 1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{9}{2}$

Paso 1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Paso 1.4.2.2

Resta $\frac{81}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Paso 1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$

Paso 2

Sustituye ${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ por $x^{2} - 9 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 9 x - 9 y = 9$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4} + y^{2} - 9 y = 9$

Paso 3

Mueve $- \frac{81}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{81}{4}$ a ambos lados.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + y^{2} - 9 y = 9 + \frac{81}{4}$

Paso 4

Completa el cuadrado de $y^{2} - 9 y$ .

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Paso 4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 9$

$c = 0$

Paso 4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 9}{2}$

Paso 4.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{9}{2}$

Paso 4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Paso 4.4.2.2

Resta $\frac{81}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Paso 4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$

Paso 5

Sustituye ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ por $y^{2} - 9 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 9 x - 9 y = 9$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4} = 9 + \frac{81}{4}$

Paso 6

Mueve $- \frac{81}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{81}{4}$ a ambos lados.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{81}{4} + \frac{81}{4}$

Paso 7

Simplifica $9 + \frac{81}{4} + \frac{81}{4}$ .

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{81 + 81}{4}$

Paso 7.2

Suma $81$ y $81$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{162}{4}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $162$ y $4$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $2$ de $162$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{2 (81)}{4}$

Paso 7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 2}$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 2}$

Paso 7.3.2.3

Reescribe la expresión.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{81}{2}$

Paso 7.4

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{81}{2}$

Paso 7.5

Combina $9$ y $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{81}{2}$

Paso 7.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{9 \cdot 2 + 81}{2}$

Paso 7.7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.7.1

Multiplica $9$ por $2$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{18 + 81}{2}$

Paso 7.7.2

Suma $18$ y $81$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{99}{2}$