Precálculo Ejemplos

$9 x^{2} + 9 y^{2} - 6 x + 24 y = 19$

Paso 1

Divide ambos lados de la ecuación por $9$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} - \frac{2 x}{3}$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 1$ y $1$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.3.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.3.4

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.3.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{3}$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Paso 2.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 2.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 2.4.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

Paso 2.4.2.2

Resta $\frac{1}{9}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{9}$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

Paso 3

Sustituye ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ por $x^{2} - \frac{2 x}{3}$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} + y^{2} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$

Paso 4

Mueve $- \frac{1}{9}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{9}$ a ambos lados.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + y^{2} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 5

Completa el cuadrado de $y^{2} + \frac{8 y}{3}$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{8}{3}$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{8}{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Paso 5.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{3}$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{9}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{9}}{4}$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{64}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 5.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.4.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $64$ .

$e = 0 - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 5.4.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 5.4.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{16}{9}$

Paso 5.4.2.2

Resta $\frac{16}{9}$ de $0$ .

$e = - \frac{16}{9}$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$ .

${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$

Paso 6

Sustituye ${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$ por $y^{2} + \frac{8 y}{3}$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 7

Mueve $- \frac{16}{9}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{16}{9}$ a ambos lados.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}$

Paso 8

Simplifica $\frac{19}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}$ .

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Paso 8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{19 + 1 + 16}{9}$

Paso 8.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.1

Suma $19$ y $1$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{20 + 16}{9}$

Paso 8.2.2

Suma $20$ y $16$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{36}{9}$

Paso 8.2.3

Divide $36$ por $9$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = 4$

Paso 9

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 10

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = 2$

$h = \frac{1}{3}$

$k = - \frac{4}{3}$

Paso 11

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(\frac{1}{3}, - \frac{4}{3})$

Paso 12

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(\frac{1}{3}, - \frac{4}{3})$

Radio: $2$

Paso 13