Precálculo Ejemplos

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y + 100 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Resta $100$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- 4 x^{2} + 40 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 4$

$b = 40$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $40$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (- 4)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{20}{- 4}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $20$ y $- 4$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$d = \frac{4 (5)}{- 4}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$d = - 5$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $40$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1600}{- 16}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $1600$ por $- 16$ .

$e = 0 - - 100$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $0$ y $100$ .

$e = 100$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$

Paso 1.3

Sustituye $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ por $- 4 x^{2} + 40 x$ en la ecuación $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100 + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Paso 1.4

Mueve $100$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $100$ a ambos lados.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 y^{2} - 100 y = - 100 - 100$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $25 y^{2} - 100 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 100$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 50}{25}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 50$ y $25$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $25$ de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 100$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $10000$ por $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$e = 0 - 100$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(y - 2)}^{2} - 100$

Paso 1.6

Sustituye $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ por $25 y^{2} - 100 y$ en la ecuación $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} - 100 = - 100 - 100$

Paso 1.7

Mueve $- 100$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $100$ a ambos lados.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100 - 100 + 100$

Paso 1.8

Simplifica $- 100 - 100 + 100$ .

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Paso 1.8.1

Resta $100$ de $- 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 200 + 100$

Paso 1.8.2

Suma $- 200$ y $100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100$

Paso 1.9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$4 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y - 2)}^{2} = 100$

Paso 1.10

Divide cada término por $100$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{4 {(x - 5)}^{2}}{100} - \frac{25 {(y - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Paso 1.11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener las asíntotas y la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 2$

$h = 5$

Paso 4

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Paso 5

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 5.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Paso 5.2

Simplifica $\frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Paso 5.2.1.3

Combina $\frac{2}{5}$ y $x$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Paso 5.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Paso 5.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Paso 5.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2 x}{5} + 2 \cdot - 1 + 2$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{5} - 2 + 2$

Paso 5.2.2

Combina los términos opuestos en $\frac{2 x}{5} - 2 + 2$ .

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + 0$

Paso 5.2.2.2

Suma $\frac{2 x}{5}$ y $0$ .

$y = \frac{2 x}{5}$

Paso 6

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 6.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Paso 6.2

Simplifica $- \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Paso 6.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Paso 6.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{2}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Paso 6.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{5}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5 + 2$

Paso 6.2.1.4.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Paso 6.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Paso 6.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1 + 2$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2 + 2$

Paso 6.2.1.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 2$

Paso 6.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Paso 7

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Paso 8

Las asíntotas son $y = \frac{2 x}{5}$ y $y = - \frac{2 x}{5} + 4$ .

Asíntotas: $y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Paso 9