Precálculo Ejemplos

$3 x^{2} + 30 x - 4 y + 95 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$30 x - 4 y + 95 = - 3 x^{2}$

Paso 1.1.1.2

Resta $30 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y + 95 = - 3 x^{2} - 30 x$

Paso 1.1.1.3

Resta $95$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y = - 3 x^{2} - 30 x - 95$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 4 y = - 3 x^{2} - 30 x - 95$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 4 y = - 3 x^{2} - 30 x - 95$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4} + \frac{- 30 x}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4} + \frac{- 30 x}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 3 x^{2}}{- 4} + \frac{- 30 x}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 30 x}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 30$ y $- 4$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 30 x$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2 (15 x)}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 4$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2 (15 x)}{- 2 (2)} + \frac{- 95}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2 (15 x)}{- 2 \cdot 2} + \frac{- 95}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{15 x}{2} + \frac{- 95}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{15 x}{2} + \frac{95}{4}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{15 x}{2} + \frac{95}{4}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{3}{4}$

$b = \frac{15}{2}$

$c = \frac{95}{4}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{15}{2}}{2 (\frac{3}{4})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{3}{4})}$

Paso 1.2.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{3}{4}$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{4}}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{6}{4}}$

Paso 1.2.3.2.4

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3)}{4}}$

Paso 1.2.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.3.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{15}{2} (1 (\frac{2}{3}))$

Paso 1.2.3.2.6

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 1.2.3.2.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.7.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$d = \frac{3 (5)}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 1.2.3.2.7.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3 \cdot 5}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 1.2.3.2.7.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{2} \cdot 2$

Paso 1.2.3.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.8.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{5}{2} \cdot 2$

Paso 1.2.3.2.8.2

Reescribe la expresión.

$d = 5$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{4 (\frac{3}{4})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{15}{2}$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{15^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{3}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{2^{2}}}{4 (\frac{3}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{4}}{4 (\frac{3}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{3}{4}$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{4}}{\frac{4 \cdot 3}{4}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{4}}{\frac{12}{4}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Divide $12$ por $4$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{4}}{3}$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{95}{4} - (\frac{225}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 1.2.4.2.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.4.2.1.6.1

Factoriza $3$ de $225$ .

$e = \frac{95}{4} - (\frac{3 (75)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 1.2.4.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{95}{4} - (\frac{3 \cdot 75}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 1.2.4.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{95}{4} - \frac{75}{4}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{95 - 75}{4}$

Paso 1.2.4.2.3

Resta $75$ de $95$ .

$e = \frac{20}{4}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $20$ por $4$ .

$e = 5$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{3}{4} {(x + 5)}^{2} + 5$ .

$\frac{3}{4} {(x + 5)}^{2} + 5$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{3}{4} \cdot {(x + 5)}^{2} + 5$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{3}{4}$

$h = - 5$

$k = 5$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 5, 5)$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{3}{4}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Combina $4$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 3}{4}}$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{1}{\frac{12}{4}}$

Paso 4.3.2.2

Divide $12$ por $4$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 5

Obtén la directriz.

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Paso 5.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{14}{3}$

Paso 6