Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{6 x + 7}{5 x - 6}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{6 x + 7}{5 x - 6}$ como una ecuación.

$y = \frac{6 x + 7}{5 x - 6}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{6 y + 7}{5 y - 6}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $5 y - 6$ .

$(5 y - 6) (x) = (\frac{6 y + 7}{5 y - 6}) (5 y - 6)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 y x - 6 x = (\frac{6 y + 7}{5 y - 6}) (5 y - 6)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $5 y - 6$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$5 y x - 6 x = \frac{6 y + 7}{5 y - 6} (5 y - 6)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$5 y x - 6 x = 6 y + 7$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y x - 6 x - 6 y = 7$

Paso 3.4.2

Suma $6 x$ a ambos lados de la ecuación.

$5 y x - 6 y = 7 + 6 x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $5 y x - 6 y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $5 y x$ .

$y (5 x) - 6 y = 7 + 6 x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- 6 y$ .

$y (5 x) + y \cdot - 6 = 7 + 6 x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (5 x) + y \cdot - 6$ .

$y (5 x - 6) = 7 + 6 x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (5 x - 6) = 7 + 6 x$ por $5 x - 6$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (5 x - 6) = 7 + 6 x$ por $5 x - 6$ .

$\frac{y (5 x - 6)}{5 x - 6} = \frac{7}{5 x - 6} + \frac{6 x}{5 x - 6}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $5 x - 6$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (5 x - 6)}{5 x - 6} = \frac{7}{5 x - 6} + \frac{6 x}{5 x - 6}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{7}{5 x - 6} + \frac{6 x}{5 x - 6}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{7 + 6 x}{5 x - 6}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 + 6 x}{5 x - 6}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{7 + 6 x}{5 x - 6}$ es la inversa de $f (x) = \frac{6 x + 7}{5 x - 6}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{7 + 6 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6})}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Combina $6$ y $\frac{6 x + 7}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{7 + \frac{6 (6 x + 7)}{5 x - 6}}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.3.2

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5 x - 6}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{7 (5 x - 6)}{5 x - 6} + \frac{6 (6 x + 7)}{5 x - 6}}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{7 (5 x - 6) + 6 (6 x + 7)}{5 x - 6}}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.3.4

Reescribe $\frac{7 (5 x - 6) + 6 (6 x + 7)}{5 x - 6}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{7 (5 x) + 7 \cdot - 6 + 6 (6 x + 7)}{5 x - 6}}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.3.4.2

Multiplica $5$ por $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{35 x + 7 \cdot - 6 + 6 (6 x + 7)}{5 x - 6}}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.3.4.3

Multiplica $7$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{35 x - 42 + 6 (6 x + 7)}{5 x - 6}}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.3.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{35 x - 42 + 6 (6 x) + 6 \cdot 7}{5 x - 6}}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.3.4.5

Multiplica $6$ por $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{35 x - 42 + 36 x + 6 \cdot 7}{5 x - 6}}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.3.4.6

Multiplica $6$ por $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{35 x - 42 + 36 x + 42}{5 x - 6}}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.3.4.7

Suma $35 x$ y $36 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x - 42 + 42}{5 x - 6}}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.3.4.8

Suma $- 42$ y $42$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x + 0}{5 x - 6}}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.3.4.9

Suma $71 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{5 (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Combina $5$ y $\frac{6 x + 7}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{5 (6 x + 7)}{5 x - 6} - 6}$

Paso 5.2.4.2

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5 x - 6}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{5 (6 x + 7)}{5 x - 6} - 6 \cdot \frac{5 x - 6}{5 x - 6}}$

Paso 5.2.4.3

Combina $- 6$ y $\frac{5 x - 6}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{5 (6 x + 7)}{5 x - 6} + \frac{- 6 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 5.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{5 (6 x + 7) - 6 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 5.2.4.5

Reescribe $\frac{5 (6 x + 7) - 6 (5 x - 6)}{5 x - 6}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{5 (6 x) + 5 \cdot 7 - 6 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 5.2.4.5.2

Multiplica $6$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{30 x + 5 \cdot 7 - 6 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 5.2.4.5.3

Multiplica $5$ por $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{30 x + 35 - 6 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 5.2.4.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{30 x + 35 - 6 (5 x) - 6 \cdot - 6}{5 x - 6}}$

Paso 5.2.4.5.5

Multiplica $5$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{30 x + 35 - 30 x - 6 \cdot - 6}{5 x - 6}}$

Paso 5.2.4.5.6

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{30 x + 35 - 30 x + 36}{5 x - 6}}$

Paso 5.2.4.5.7

Resta $30 x$ de $30 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{0 + 35 + 36}{5 x - 6}}$

Paso 5.2.4.5.8

Suma $0$ y $35$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{35 + 36}{5 x - 6}}$

Paso 5.2.4.5.9

Suma $35$ y $36$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{71}{5 x - 6}}$

Paso 5.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{71 x}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{71}$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $71$ .

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Paso 5.2.6.1

Factoriza $71$ de $71 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{71 (x)}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{71}$

Paso 5.2.6.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{71 x}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{71}$

Paso 5.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{x}{5 x - 6} \cdot (5 x - 6)$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $5 x - 6$ .

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Paso 5.2.7.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = \frac{x}{5 x - 6} \cdot (5 x - 6)$

Paso 5.2.7.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 7}{5 x - 6}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{6 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) + 7}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Combina $6$ y $\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{6 (7 + 6 x)}{5 x - 6} + 7}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5 x - 6}{5 x - 6}$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{6 (7 + 6 x)}{5 x - 6} + \frac{7 (5 x - 6)}{5 x - 6}}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{6 (7 + 6 x) + 7 (5 x - 6)}{5 x - 6}}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3.4

Reordena los términos.

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{7 (5 x - 6) + 6 (7 + 6 x)}{5 x - 6}}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3.5

Reescribe $\frac{7 (5 x - 6) + 6 (7 + 6 x)}{5 x - 6}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{7 (5 x) + 7 \cdot - 6 + 6 (7 + 6 x)}{5 x - 6}}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3.5.2

Multiplica $5$ por $7$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{35 x + 7 \cdot - 6 + 6 (7 + 6 x)}{5 x - 6}}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3.5.3

Multiplica $7$ por $- 6$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{35 x - 42 + 6 (7 + 6 x)}{5 x - 6}}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{35 x - 42 + 6 \cdot 7 + 6 (6 x)}{5 x - 6}}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3.5.5

Multiplica $6$ por $7$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{35 x - 42 + 42 + 6 (6 x)}{5 x - 6}}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3.5.6

Multiplica $6$ por $6$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{35 x - 42 + 42 + 36 x}{5 x - 6}}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3.5.7

Suma $35 x$ y $36 x$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x - 42 + 42}{5 x - 6}}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3.5.8

Suma $- 42$ y $42$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x + 0}{5 x - 6}}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.3.5.9

Suma $71 x$ y $0$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{5 (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) - 6}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Combina $5$ y $\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{5 (7 + 6 x)}{5 x - 6} - 6}$

Paso 5.3.4.2

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5 x - 6}{5 x - 6}$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{5 (7 + 6 x)}{5 x - 6} - 6 \cdot \frac{5 x - 6}{5 x - 6}}$

Paso 5.3.4.3

Combina $- 6$ y $\frac{5 x - 6}{5 x - 6}$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{5 (7 + 6 x)}{5 x - 6} + \frac{- 6 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 5.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{5 (7 + 6 x) - 6 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 5.3.4.5

Reescribe $\frac{5 (7 + 6 x) - 6 (5 x - 6)}{5 x - 6}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{5 \cdot 7 + 5 (6 x) - 6 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 5.3.4.5.2

Multiplica $5$ por $7$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{35 + 5 (6 x) - 6 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 5.3.4.5.3

Multiplica $6$ por $5$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{35 + 30 x - 6 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 5.3.4.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{35 + 30 x - 6 (5 x) - 6 \cdot - 6}{5 x - 6}}$

Paso 5.3.4.5.5

Multiplica $5$ por $- 6$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{35 + 30 x - 30 x - 6 \cdot - 6}{5 x - 6}}$

Paso 5.3.4.5.6

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{35 + 30 x - 30 x + 36}{5 x - 6}}$

Paso 5.3.4.5.7

Suma $35$ y $36$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{30 x - 30 x + 71}{5 x - 6}}$

Paso 5.3.4.5.8

Resta $30 x$ de $30 x$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{0 + 71}{5 x - 6}}$

Paso 5.3.4.5.9

Suma $0$ y $71$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{71 x}{5 x - 6}}{\frac{71}{5 x - 6}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{71 x}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{71}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $71$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $71$ de $71 x$ .

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{71 (x)}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{71}$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{71 x}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{71}$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{x}{5 x - 6} \cdot (5 x - 6)$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $5 x - 6$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = \frac{x}{5 x - 6} \cdot (5 x - 6)$

Paso 5.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 + 6 x}{5 x - 6}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{7 + 6 x}{5 x - 6}$ es la inversa de $f (x) = \frac{6 x + 7}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 + 6 x}{5 x - 6}$