Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 4 x + 6 y - 2 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x + 6 y - 2 = - x^{2}$

Paso 1.1.1.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 y - 2 = - x^{2} - 4 x$

Paso 1.1.1.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$6 y = - x^{2} - 4 x + 2$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $6 y = - x^{2} - 4 x + 2$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $6 y = - x^{2} - 4 x + 2$ por $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y}{6} = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{6} + \frac{2}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (3)} + \frac{2}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 3} + \frac{2}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{2}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 1.1.2.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2 (1)}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 1.1.2.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 1.1.2.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{6})}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{6})}$

Paso 1.2.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{6})}$

Paso 1.2.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{\frac{1}{6}}$ .

$d = \frac{1}{3 (\frac{1}{6})}$

Paso 1.2.3.2.5

Combina $3$ y $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{1}{\frac{3}{6}}$

Paso 1.2.3.2.6

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 1.2.3.2.6.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 (1)}{6}}$

Paso 1.2.3.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.3.2.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 \cdot 2$

Paso 1.2.3.2.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{6}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 4}{6}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 2}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- \frac{2}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4}{9} (- \frac{3}{2}))$

Paso 1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Paso 1.2.4.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Paso 1.2.4.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{9} \cdot - 3)$

Paso 1.2.4.2.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.4.2.1.6.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3 (3)} \cdot - 3)$

Paso 1.2.4.2.1.6.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Paso 1.2.4.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Paso 1.2.4.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3} \cdot - 1)$

Paso 1.2.4.2.1.7

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Paso 1.2.4.2.1.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{- 2}{3}$

Paso 1.2.4.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{1}{3} - - \frac{2}{3}$

Paso 1.2.4.2.1.10

Multiplica $- - \frac{2}{3}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{1}{3} + 1 (\frac{2}{3})$

Paso 1.2.4.2.1.10.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{1 + 2}{3}$

Paso 1.2.4.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$e = \frac{3}{3}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $3$ por $3$ .

$e = 1$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{6} {(x + 2)}^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{6} {(x + 2)}^{2} + 1$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{6} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$h = - 2$

$k = 1$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Paso 4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

Paso 4.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

Paso 4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Paso 4.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 (\frac{3}{2}))$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 5

Obtén la directriz.

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Paso 5.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{5}{2}$

Paso 6