Precálculo Ejemplos

${(2 (\cos (240 °) + i \sin (240 °)))}^{4}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

${(2 (- \cos (60) + i \sin (240 °)))}^{4}$

Paso 1.1.2

El valor exacto de $\cos (60)$ es $\frac{1}{2}$ .

${(2 (- \frac{1}{2} + i \sin (240 °)))}^{4}$

Paso 1.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

${(2 (- \frac{1}{2} + i (- \sin (60))))}^{4}$

Paso 1.1.4

El valor exacto de $\sin (60)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(2 (- \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})))}^{4}$

Paso 1.1.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(2 (- \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Paso 1.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 (- \frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

${(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común.

${(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Paso 1.2.2.3

Reescribe la expresión.

${(- 1 + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ al numerador.

${(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

${(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

${(- 1 - i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 2

Usa el teorema del binomio.

${(- 1)}^{4} + 4 {(- 1)}^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.2

Multiplica ${(- 1)}^{3}$ por $- 1$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Mueve $- 1$ .

$1 + 4 (- {(- 1)}^{3}) (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$1 + 4 ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3}) (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + 4 {(- 1)}^{1 + 3} (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{4} (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 + 4 \cdot 1 (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 + 4 (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.6

Multiplica $6$ por $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- i \sqrt{3}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.7.2

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.9

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.10

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.11

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.11.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.11.4.1

Cancela el factor común.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.11.4.2

Reescribe la expresión.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{1}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.11.5

Evalúa el exponente.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.12

Multiplica $6 (- 1 \cdot 3)$ .

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Paso 3.1.12.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.12.2

Multiplica $6$ por $- 3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.13

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.14

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.14.1

Aplica la regla del producto a $- i \sqrt{3}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 ({(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.14.2

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 ({(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.15

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.16

Factoriza $i^{2}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.17

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.18

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- - i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.19

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (1 i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.20

Multiplica $i$ por $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.21

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{3^{3}}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.22

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{27}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.23

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.1.23.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{9 (3)}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.23.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.24

Retira los términos de abajo del radical.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i (3 \sqrt{3})) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.25

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (3 \cdot i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.26

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 (i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Paso 3.1.27

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.27.1

Aplica la regla del producto a $- i \sqrt{3}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- i)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Paso 3.1.27.2

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Paso 3.1.28

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Paso 3.1.29

Multiplica $i^{4}$ por $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Paso 3.1.30

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 3.1.30.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} {\sqrt{3}}^{4}$

Paso 3.1.30.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{4}$

Paso 3.1.30.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}$

Paso 3.1.31

Multiplica ${\sqrt{3}}^{4}$ por $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}$

Paso 3.1.32

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Paso 3.1.32.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Paso 3.1.32.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Paso 3.1.32.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}$

Paso 3.1.32.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.1.32.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.1.32.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.32.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Paso 3.1.32.4.2.2

Cancela el factor común.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Paso 3.1.32.4.2.3

Reescribe la expresión.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}$

Paso 3.1.32.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{2}$

Paso 3.1.33

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 9$

Paso 3.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.1

Resta $18$ de $1$ .

$4 i \sqrt{3} - 17 - 12 i \sqrt{3} + 9$

Paso 3.2.2

Resta $12 i \sqrt{3}$ de $4 i \sqrt{3}$ .

$- 8 i \sqrt{3} - 17 + 9$

Paso 3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.1

Suma $- 17$ y $9$ .

$- 8 i \sqrt{3} - 8$

Paso 3.2.3.2

Reordena $- 8 i \sqrt{3}$ y $- 8$ .

$- 8 - 8 i \sqrt{3}$