Precálculo Ejemplos

$16 x^{2} + 16 y^{2} + 96 x - 40 y = 315$

Paso 1

Divide ambos lados de la ecuación por $16$ .

$x^{2} + y^{2} + 6 x - \frac{5 y}{2} = \frac{315}{16}$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} + 6 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{1}$

Paso 2.3.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$d = 3$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $36$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$e = 0 - 9$

Paso 2.4.2.2

Resta $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 3)}^{2} - 9$ .

${(x + 3)}^{2} - 9$

Paso 3

Sustituye ${(x + 3)}^{2} - 9$ por $x^{2} + 6 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + 6 x - \frac{5 y}{2} = \frac{315}{16}$ .

${(x + 3)}^{2} - 9 + y^{2} - \frac{5 y}{2} = \frac{315}{16}$

Paso 4

Mueve $- 9$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $9$ a ambos lados.

${(x + 3)}^{2} + y^{2} - \frac{5 y}{2} = \frac{315}{16} + 9$

Paso 5

Completa el cuadrado de $y^{2} - \frac{5 y}{2}$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{5}{2}$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{5}{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 1$ y $1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{5}{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{5}{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- \frac{5}{2}}{2}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5}{2}$ .

$d = - \frac{5}{2 \cdot 2}$

Paso 5.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$d = - \frac{5}{4}$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{5}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{5}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{5^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{25}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{25}{4})}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{25}{4}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{4}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{4}}{4}$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{25}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $\frac{25}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 5.4.2.1.4.1

Multiplica $\frac{25}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 4}$

Paso 5.4.2.1.4.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{25}{16}$

Paso 5.4.2.2

Resta $\frac{25}{16}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{16}$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - \frac{5}{4})}^{2} - \frac{25}{16}$ .

${(y - \frac{5}{4})}^{2} - \frac{25}{16}$

Paso 6

Sustituye ${(y - \frac{5}{4})}^{2} - \frac{25}{16}$ por $y^{2} - \frac{5 y}{2}$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + 6 x - \frac{5 y}{2} = \frac{315}{16}$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} - \frac{25}{16} = \frac{315}{16} + 9$

Paso 7

Mueve $- \frac{25}{16}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{25}{16}$ a ambos lados.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = \frac{315}{16} + 9 + \frac{25}{16}$

Paso 8

Simplifica $\frac{315}{16} + 9 + \frac{25}{16}$ .

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Paso 8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = 9 + \frac{315 + 25}{16}$

Paso 8.2

Suma $315$ y $25$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = 9 + \frac{340}{16}$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $340$ y $16$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $4$ de $340$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = 9 + \frac{4 (85)}{16}$

Paso 8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = 9 + \frac{4 \cdot 85}{4 \cdot 4}$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = 9 + \frac{4 \cdot 85}{4 \cdot 4}$

Paso 8.3.2.3

Reescribe la expresión.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = 9 + \frac{85}{4}$

Paso 8.4

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = 9 \cdot \frac{4}{4} + \frac{85}{4}$

Paso 8.5

Combina $9$ y $\frac{4}{4}$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{85}{4}$

Paso 8.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 4 + 85}{4}$

Paso 8.7

Simplifica el numerador.

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Paso 8.7.1

Multiplica $9$ por $4$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = \frac{36 + 85}{4}$

Paso 8.7.2

Suma $36$ y $85$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = \frac{121}{4}$

Paso 9

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 10

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = \frac{11}{2}$

$h = - 3$

$k = \frac{5}{4}$

Paso 11

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(- 3, \frac{5}{4})$

Paso 12

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(- 3, \frac{5}{4})$

Radio: $\frac{11}{2}$

Paso 13