Precálculo Ejemplos

$4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 9 y + 16 = 0$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = 9$ y $c = 4 x^{2} - 2 x + 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16))}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 3 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 12 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 12 (4 x^{2}) - 12 (- 2 x) - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.1.4

Simplifica.

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Paso 1.3.1.4.1

Multiplica $4$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} - 12 (- 2 x) - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.1.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} + 24 x - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.1.4.3

Multiplica $- 12$ por $16$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} + 24 x - 192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.1.5

Resta $192$ de $81$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 24 x - 111}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.1.6

Factoriza $3$ de $- 48 x^{2} + 24 x - 111$ .

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Paso 1.3.1.6.1

Factoriza $3$ de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 24 x - 111}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.1.6.2

Factoriza $3$ de $24 x$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x) - 111}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.1.6.3

Factoriza $3$ de $- 111$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (- 37)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.1.6.4

Factoriza $3$ de $3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x)$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x) + 3 (- 37)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.1.6.5

Factoriza $3$ de $3 (- 16 x^{2} + 8 x) + 3 (- 37)$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

Paso 1.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 3 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 12 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 12 (4 x^{2}) - 12 (- 2 x) - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1.4.1

Multiplica $4$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} - 12 (- 2 x) - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.1.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} + 24 x - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.1.4.3

Multiplica $- 12$ por $16$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} + 24 x - 192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.1.5

Resta $192$ de $81$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 24 x - 111}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.1.6

Factoriza $3$ de $- 48 x^{2} + 24 x - 111$ .

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Paso 1.4.1.6.1

Factoriza $3$ de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 24 x - 111}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.1.6.2

Factoriza $3$ de $24 x$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x) - 111}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.1.6.3

Factoriza $3$ de $- 111$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (- 37)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.1.6.4

Factoriza $3$ de $3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x)$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x) + 3 (- 37)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.1.6.5

Factoriza $3$ de $3 (- 16 x^{2} + 8 x) + 3 (- 37)$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

Paso 1.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- 9 + \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

Paso 1.4.4

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 9 + \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

Paso 1.4.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 9 - 1 (- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)})}{6}$

Paso 1.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (9) - 1 (- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)})$ .

$y = \frac{- 1 (9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)})}{6}$

Paso 1.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

Paso 1.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 3 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 12 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 12 (4 x^{2}) - 12 (- 2 x) - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.1.4

Simplifica.

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Paso 1.5.1.4.1

Multiplica $4$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} - 12 (- 2 x) - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.1.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} + 24 x - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.1.4.3

Multiplica $- 12$ por $16$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} + 24 x - 192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.1.5

Resta $192$ de $81$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 24 x - 111}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.1.6

Factoriza $3$ de $- 48 x^{2} + 24 x - 111$ .

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Paso 1.5.1.6.1

Factoriza $3$ de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 24 x - 111}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.1.6.2

Factoriza $3$ de $24 x$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x) - 111}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.1.6.3

Factoriza $3$ de $- 111$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (- 37)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.1.6.4

Factoriza $3$ de $3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x)$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x) + 3 (- 37)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.1.6.5

Factoriza $3$ de $3 (- 16 x^{2} + 8 x) + 3 (- 37)$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

Paso 1.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- 9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

Paso 1.5.4

Factoriza $- 1$ de $- 9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}$ .

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Paso 1.5.4.1

Reordena $- 9$ y $- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}$ .

$y = \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} - 9}{6}$

Paso 1.5.4.2

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}$ .

$y = \frac{- (\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}) - 9}{6}$

Paso 1.5.4.3

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$y = \frac{- (\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}) - 1 \cdot 9}{6}$

Paso 1.5.4.4

Factoriza $- 1$ de $- (\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}) - 1 (9)$ .

$y = \frac{- (\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9)}{6}$

Paso 1.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

Paso 1.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

Paso 2

Para escribir un polinomio en una ecuación ordinaria, simplifica y luego organiza los términos en orden descendente.

$y = a x^{2} + b x + c$

Paso 3

Divide la fracción $\frac{9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$ en dos fracciones.

$y = - (\frac{9}{6} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$y = - (\frac{3 (3)}{6} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

Paso 4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y = - (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = - (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}), - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

Paso 4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - (\frac{3}{2} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

$y = - (\frac{3}{2} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

$y = - (\frac{3}{2} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

Paso 4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - (\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

$y = - (\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

Paso 5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

Paso 6

Divide la fracción $\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$ en dos fracciones.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{9}{6})$

Paso 7

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 7.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{3 (3)}{6})$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2})$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}, - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2})$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{3}{2})$

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{3}{2})$

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{3}{2})$

Paso 8

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} - \frac{3}{2}$

Paso 9

Reordena los términos.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}$

$y = - (\frac{1}{6} \cdot \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}) - \frac{3}{2}$

Paso 10

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}$

$y = - \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} - \frac{3}{2}$

Paso 11