Precálculo Ejemplos

${(2 v + 3)}^{6}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(2 v + 3)}^{6}$ , $n = 6$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $7$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $2 v$ y $b$ en la expresión $3$ .

$1 {(2 v)}^{6} {(3)}^{0} + 6 {(2 v)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(2 v)}^{6}$ por $1$ .

${(2 v)}^{6} {(3)}^{0} + 6 {(2 v)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $2 v$ .

$2^{6} v^{6} {(3)}^{0} + 6 {(2 v)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.3

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$64 v^{6} {(3)}^{0} + 6 {(2 v)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$64 v^{6} \cdot 1 + 6 {(2 v)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.5

Multiplica $64$ por $1$ .

$64 v^{6} + 6 {(2 v)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.6

Aplica la regla del producto a $2 v$ .

$64 v^{6} + 6 (2^{5} v^{5}) {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.7

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$64 v^{6} + 6 (32 v^{5}) {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.8

Multiplica $32$ por $6$ .

$64 v^{6} + 192 v^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.9

Evalúa el exponente.

$64 v^{6} + 192 v^{5} \cdot 3 + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.10

Multiplica $3$ por $192$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.11

Aplica la regla del producto a $2 v$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 15 (2^{4} v^{4}) {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.12

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 15 (16 v^{4}) {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.13

Multiplica $16$ por $15$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 240 v^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.14

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 240 v^{4} \cdot 9 + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.15

Multiplica $9$ por $240$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.16

Aplica la regla del producto a $2 v$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 20 (2^{3} v^{3}) {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.17

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 20 (8 v^{3}) {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.18

Multiplica $8$ por $20$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 160 v^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.19

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 160 v^{3} \cdot 27 + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.20

Multiplica $27$ por $160$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.21

Aplica la regla del producto a $2 v$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 15 (2^{2} v^{2}) {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.22

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 15 (4 v^{2}) {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.23

Multiplica $4$ por $15$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 60 v^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.24

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 60 v^{2} \cdot 81 + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.25

Multiplica $81$ por $60$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.26

Simplifica.

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 6 (2 v) {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.27

Multiplica $2$ por $6$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 12 v {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.28

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 12 v \cdot 243 + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.29

Multiplica $243$ por $12$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.30

Multiplica ${(2 v)}^{0}$ por $1$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.31

Aplica la regla del producto a $2 v$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + 2^{0} v^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.32

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + 1 v^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.33

Multiplica $v^{0}$ por $1$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + v^{0} {(3)}^{6}$

Paso 4.34

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + 1 {(3)}^{6}$

Paso 4.35

Multiplica ${(3)}^{6}$ por $1$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + {(3)}^{6}$

Paso 4.36

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + 729$