Precálculo Ejemplos

${(x^{2} y - 1)}^{5}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(x^{2} y - 1)}^{5}$ , $n = 5$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $6$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $x^{2} y$ y $b$ en la expresión $- 1$ .

$1 {(x^{2} y)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(x^{2} y)}^{5}$ por $1$ .

${(x^{2} y)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $x^{2} y$ .

${(x^{2})}^{5} y^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{5}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 5} y^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x^{10} y^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{10} y^{5} \cdot 1 + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.5

Multiplica $x^{10}$ por $1$ .

$x^{10} y^{5} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.6

Aplica la regla del producto a $x^{2} y$ .

$x^{10} y^{5} + 5 ({(x^{2})}^{4} y^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.7

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{4}$ .

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Paso 4.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{10} y^{5} + 5 (x^{2 \cdot 4} y^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x^{10} y^{5} + 5 (x^{8} y^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.8

Evalúa el exponente.

$x^{10} y^{5} + 5 x^{8} y^{4} \cdot - 1 + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.9

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.10

Aplica la regla del producto a $x^{2} y$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 ({(x^{2})}^{3} y^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.11

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 4.11.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 (x^{2 \cdot 3} y^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.11.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 (x^{6} y^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} \cdot 1 + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.13

Multiplica $10$ por $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.14

Aplica la regla del producto a $x^{2} y$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 ({(x^{2})}^{2} y^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.15

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.15.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 (x^{2 \cdot 2} y^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.15.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 (x^{4} y^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.16

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 x^{4} y^{2} \cdot - 1 + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.17

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.18

Simplifica.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 (x^{2} y) {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.19

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y \cdot 1 + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.20

Multiplica $5$ por $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.21

Multiplica ${(x^{2} y)}^{0}$ por $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.22

Aplica la regla del producto a $x^{2} y$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + {(x^{2})}^{0} y^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.23

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{0}$ .

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Paso 4.23.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + x^{2 \cdot 0} y^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.23.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + x^{0} y^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.24

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + 1 y^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.25

Multiplica $y^{0}$ por $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + y^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.26

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + 1 {(- 1)}^{5}$

Paso 4.27

Multiplica ${(- 1)}^{5}$ por $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + {(- 1)}^{5}$

Paso 4.28

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y - 1$