Precálculo Ejemplos

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ , $\cos (θ) = \frac{2}{3}$

Paso 1

Para obtener el valor de $\tan (θ)$ , usa el hecho de que $\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ luego sustituye los valores conocidos.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}$

Paso 2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \sqrt{5} (\frac{1}{2})$

Paso 2.3

Combina $\sqrt{5}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Paso 3

Para obtener el valor de $\cot (θ)$ , usa el hecho de que $\frac{1}{\tan (θ)}$ luego sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$

Paso 4

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = 1 (\frac{2}{\sqrt{5}})$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 4.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 4.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 4.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 5

Para obtener el valor de $\sec (θ)$ , usa el hecho de que $\frac{1}{\cos (θ)}$ luego sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Paso 6

Simplifica el resultado.

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Paso 6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = 1 (\frac{3}{2})$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3}{2}$

Paso 7

Para obtener el valor de $\csc (θ)$ , usa el hecho de que $\frac{1}{\sin (θ)}$ luego sustituye los valores conocidos.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$

Paso 8

Simplifica el resultado.

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Paso 8.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = 1 (\frac{3}{\sqrt{5}})$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.4.1

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 8.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 8.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 8.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 8.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 8.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 8.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Paso 8.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9

Las funciones trigonométricas obtenidas son las siguientes:

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$