Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{2} (\log (x + 2) + \log (x + 3)) - \log (x + 5) - 8 \log (3 x - 8)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log ((x + 2) (x + 3)) - \log (x + 5) - 8 \log (3 x - 8)$

Paso 1.2

Expande $(x + 2) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \log (x (x + 3) + 2 (x + 3)) - \log (x + 5) - 8 \log (3 x - 8)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \log (x \cdot x + x \cdot 3 + 2 (x + 3)) - \log (x + 5) - 8 \log (3 x - 8)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \log (x \cdot x + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) - \log (x + 5) - 8 \log (3 x - 8)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (x^{2} + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) - \log (x + 5) - 8 \log (3 x - 8)$

Paso 1.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (x^{2} + 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 3) - \log (x + 5) - 8 \log (3 x - 8)$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (x^{2} + 3 x + 2 x + 6) - \log (x + 5) - 8 \log (3 x - 8)$

Paso 1.3.2

Suma $3 x$ y $2 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (x^{2} + 5 x + 6) - \log (x + 5) - 8 \log (3 x - 8)$

Paso 1.4

Simplifica $\frac{1}{2} \log (x^{2} + 5 x + 6)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\log ({(x^{2} + 5 x + 6)}^{\frac{1}{2}}) - \log (x + 5) - 8 \log (3 x - 8)$

Paso 1.5

Simplifica $- 8 \log (3 x - 8)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\log ({(x^{2} + 5 x + 6)}^{\frac{1}{2}}) - \log (x + 5) - \log ({(3 x - 8)}^{8})$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}) - \log ({(3 x - 8)}^{8})$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}}{{(3 x - 8)}^{8}})$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log (\frac{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5} \cdot \frac{1}{{(3 x - 8)}^{8}})$

Paso 5

Multiplica $\frac{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$ por $\frac{1}{{(3 x - 8)}^{8}}$ .

$\log (\frac{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{(x + 5) {(3 x - 8)}^{8}})$