Precálculo Ejemplos

$5^{3 x - 1} = 4^{2 - x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (5^{3 x - 1}) = \ln (4^{2 - x})$

Paso 2

Expande $\ln (5^{3 x - 1})$ ; para ello, mueve $3 x - 1$ fuera del logaritmo.

$(3 x - 1) \ln (5) = \ln (4^{2 - x})$

Paso 3

Expande $\ln (4^{2 - x})$ ; para ello, mueve $2 - x$ fuera del logaritmo.

$(3 x - 1) \ln (5) = (2 - x) \ln (4)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(3 x - 1) \ln (5)$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (3 x - 1) \ln (5) = (2 - x) \ln (4)$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(3 x - 1) \ln (5) = (2 - x) \ln (4)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \ln (5) - 1 \ln (5) = (2 - x) \ln (4)$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$3 x \ln (5) - \ln (5) = (2 - x) \ln (4)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \ln (5) - \ln (5) = 2 \ln (4) - x \ln (4)$

Paso 4.3

Suma $x \ln (4)$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x \ln (5) - \ln (5) + x \ln (4) = 2 \ln (4)$

Paso 4.4

Suma $\ln (5)$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x \ln (5) + x \ln (4) = 2 \ln (4) + \ln (5)$

Paso 4.5

Factoriza $x$ de $3 x \ln (5) + x \ln (4)$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $x$ de $3 x \ln (5)$ .

$x (3 \ln (5)) + x \ln (4) = 2 \ln (4) + \ln (5)$

Paso 4.5.2

Factoriza $x$ de $x \ln (4)$ .

$x (3 \ln (5)) + x (\ln (4)) = 2 \ln (4) + \ln (5)$

Paso 4.5.3

Factoriza $x$ de $x (3 \ln (5)) + x (\ln (4))$ .

$x (3 \ln (5) + \ln (4)) = 2 \ln (4) + \ln (5)$

Paso 4.6

Divide cada término en $x (3 \ln (5) + \ln (4)) = 2 \ln (4) + \ln (5)$ por $3 \ln (5) + \ln (4)$ y simplifica.

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Paso 4.6.1

Divide cada término en $x (3 \ln (5) + \ln (4)) = 2 \ln (4) + \ln (5)$ por $3 \ln (5) + \ln (4)$ .

$\frac{x (3 \ln (5) + \ln (4))}{3 \ln (5) + \ln (4)} = \frac{2 \ln (4)}{3 \ln (5) + \ln (4)} + \frac{\ln (5)}{3 \ln (5) + \ln (4)}$

Paso 4.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.1

Cancela el factor común de $3 \ln (5) + \ln (4)$ .

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Paso 4.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (3 \ln (5) + \ln (4))}{3 \ln (5) + \ln (4)} = \frac{2 \ln (4)}{3 \ln (5) + \ln (4)} + \frac{\ln (5)}{3 \ln (5) + \ln (4)}$

Paso 4.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 \ln (4)}{3 \ln (5) + \ln (4)} + \frac{\ln (5)}{3 \ln (5) + \ln (4)}$

Paso 4.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.6.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 \ln (4) + \ln (5)}{3 \ln (5) + \ln (4)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{2 \ln (4) + \ln (5)}{3 \ln (5) + \ln (4)}$

Forma decimal:

$x = 0.70511713 \dots$