Precálculo Ejemplos

$4 x^{3} - 3$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 4 y^{3} - 3$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $4 y^{3} - 3 = x$ .

$4 y^{3} - 3 = x$

Paso 2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y^{3} = x + 3$

Paso 2.3

Divide cada término en $4 y^{3} = x + 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $4 y^{3} = x + 3$ por $4$ .

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{4} + \frac{3}{4}}$

Paso 2.5

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{4} + \frac{3}{4}}$ .

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Paso 2.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 3}{4}}$

Paso 2.5.2

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{x + 3}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 2.5.3

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 2.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 2.5.4.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 2.5.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 2.5.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 2.5.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 2.5.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 2.5.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 2.5.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 2.5.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 2.5.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Paso 2.5.4.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 2.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Paso 2.5.5.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{16}}{4}$

Paso 2.5.5.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 2.5.5.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Paso 2.5.5.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Paso 2.5.5.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Paso 2.5.5.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2}}{4}$

Paso 2.5.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.5.6.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.5.6.1.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2}$ .

$y = \frac{2 (\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2})}{4}$

Paso 2.5.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.6.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.5.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.5.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2}}{2}$

Paso 2.5.6.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 4 x^{3} - 3$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (4 x^{3} - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{2 ((4 x^{3} - 3) + 3)}}{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{2 (4 x^{3} + 0)}}{2}$

Paso 4.2.3.2

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (4 x^{3})}}{2}$

Paso 4.2.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Paso 4.2.3.4

Reescribe $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Paso 4.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 {(\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2})}^{3} - 3$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}^{3}}{2^{3}}) - 3$

Paso 4.3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2 (x + 3)}}^{3}$ como $2 (x + 3)$ .

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Paso 4.3.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2 (x + 3)}$ como ${(2 (x + 3))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{{({(2 (x + 3))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 3$

Paso 4.3.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 3$

Paso 4.3.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 3$

Paso 4.3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 3$

Paso 4.3.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 3)}{2^{3}}) - 3$

Paso 4.3.3.2.1.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 3)}{2^{3}}) - 3$

Paso 4.3.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 x + 2 \cdot 3}{2^{3}}) - 3$

Paso 4.3.3.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 x + 6}{2^{3}}) - 3$

Paso 4.3.3.2.4

Factoriza $2$ de $2 x + 6$ .

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Paso 4.3.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x) + 6}{2^{3}}) - 3$

Paso 4.3.3.2.4.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 x + 2 \cdot 3}{2^{3}}) - 3$

Paso 4.3.3.2.4.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 3)}{2^{3}}) - 3$

Paso 4.3.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 3)}{8}) - 3$

Paso 4.3.3.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.3.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 3)}{4 (2)}) - 3$

Paso 4.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 3)}{4 \cdot 2}) - 3$

Paso 4.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Paso 4.3.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Paso 4.3.3.5.2

Divide $x + 3$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = x + 3 - 3$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Paso 4.3.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 4 x^{3} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}$