Precálculo Ejemplos

$4 x^{2} - y^{2} + 16 y - 80 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $80$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - y^{2} + 16 y = 80$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- y^{2} + 16 y$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 16$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{8}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 8$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$d = - 8$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{256}{- 4}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $256$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 64$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $0$ y $64$ .

$e = 64$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y - 8)}^{2} + 64$ .

$- {(y - 8)}^{2} + 64$

Paso 1.3

Sustituye $- {(y - 8)}^{2} + 64$ por $- y^{2} + 16 y$ en la ecuación $4 x^{2} - y^{2} + 16 y = 80$ .

$4 x^{2} - {(y - 8)}^{2} + 64 = 80$

Paso 1.4

Mueve $64$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $64$ a ambos lados.

$4 x^{2} - {(y - 8)}^{2} = 80 - 64$

Paso 1.5

Resta $64$ de $80$ .

$4 x^{2} - {(y - 8)}^{2} = 16$

Paso 1.6

Divide cada término por $16$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{4 x^{2}}{16} - \frac{{(y - 8)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Paso 1.7

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{{(y - 8)}^{2}}{16} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 2$

$b = 4$

$k = 8$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 8)$

Paso 5