Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4} > 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} + x - 12 = 0$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 4$

Paso 7

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Paso 7.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 7.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Paso 7.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 8

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 9

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 10

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 3, - 4$

$x = 2$

Paso 11

Consolida las soluciones.

$x = 3, - 4, 2$

Paso 12

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Paso 12.2.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 12.2.1.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Paso 12.2.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 12.2.2

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 12.2.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 12.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 13

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Paso 14

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 14.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 12}{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot - 6 + 4} > 0$

Paso 14.1.3

$0.28125$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 14.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 14.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 12}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4} > 0$

Paso 14.2.3

$- 3$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 14.3

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2.5$

Paso 14.3.2

Reemplaza $x$ con $2.5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(2.5)}^{2} + 2.5 - 12}{{(2.5)}^{2} - 4 \cdot 2.5 + 4} > 0$

Paso 14.3.3

$- 13$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 14.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 14.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(6)}^{2} + 6 - 12}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 4} > 0$

Paso 14.4.3

$1.875$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 14.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 15

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 4$ o $x > 3$

Paso 16

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$

Paso 17