Precálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x + 1} \geq 0$

Paso 1

Multiplicación cruzada.

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Paso 1.1

Aplica la multiplicación cruzada; para ello, haz que el producto del numerador del lado derecho y el denominador del lado izquierdo sean iguales al producto del numerador del lado izquierdo y el denominador del lado derecho.

$0 \cdot (x + 1) \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Multiplica $0$ por $x + 1$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Simplifica $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 1.3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$0 \geq \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 2

Reescribe para que $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${((x + 1) (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.2

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

${(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

${(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

${(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

${(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${(x^{2} - x + x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

${(x^{2} + 0 - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.1.4

Simplifica.

$x^{2} - 1 \leq 0^{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} - 1 \leq 0$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \leq 1$

Paso 5.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Paso 5.3

Simplifica la ecuación.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| x | \leq 1$

Paso 5.4

Escribe $| x | \leq 1$ como una función definida por partes.

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Paso 5.4.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 5.4.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq 1$

Paso 5.4.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 5.4.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq 1$

Paso 5.4.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Paso 5.5

Obtén la intersección de $x \leq 1$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Paso 5.6

Resuelve $- x \leq 1$ cuando $x < 0$ .

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $- x \leq 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.6.1.1

Divide cada término de $- x \leq 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Paso 5.6.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Paso 5.6.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Paso 5.6.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.1.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x \geq - 1$

Paso 5.6.2

Obtén la intersección de $x \geq - 1$ y $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Paso 5.7

Obtén la unión de las soluciones.

$- 1 \leq x \leq 1$

Paso 6

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[- 1, 1]$

Paso 7