Precálculo Ejemplos

$\frac{4 x - 5}{x + 2} \leq 3$

Paso 1

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{4 x - 5}{x + 2} - 3 \leq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{4 x - 5}{x + 2} - 3$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4 x - 5}{x + 2} - 3 \cdot \frac{x + 2}{x + 2} \leq 0$

Paso 2.2

Combina $- 3$ y $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4 x - 5}{x + 2} + \frac{- 3 (x + 2)}{x + 2} \leq 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 x - 5 - 3 (x + 2)}{x + 2} \leq 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x - 5 - 3 x - 3 \cdot 2}{x + 2} \leq 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{4 x - 5 - 3 x - 6}{x + 2} \leq 0$

Paso 2.4.3

Resta $3 x$ de $4 x$ .

$\frac{x - 5 - 6}{x + 2} \leq 0$

Paso 2.4.4

Resta $6$ de $- 5$ .

$\frac{x - 11}{x + 2} \leq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 11 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4

Suma $11$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 11$

Paso 5

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 11$

$x = - 2$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = 11, - 2$

Paso 8

Obtén el dominio de $\frac{x - 11}{x + 2}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{x - 11}{x + 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 2 = 0$

Paso 8.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 11$

$x > 11$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{4 (- 4) - 5}{(- 4) + 2} \leq 3$

Paso 10.1.3

$10.5$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 11$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 11$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{4 (0) - 5}{(0) + 2} \leq 3$

Paso 10.2.3

$- 2.5$ del lado izquierdo es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 11$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 11$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 14$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $14$ en la desigualdad original.

$\frac{4 (14) - 5}{(14) + 2} \leq 3$

Paso 10.3.3

$3.1875$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 11$ Verdadero

$x > 11$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 11$ Verdadero

$x > 11$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 < x \leq 11$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 2, 11]$

Paso 13