Precálculo Ejemplos

$(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 1

Para obtener $\cos (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ y $(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

Opuesto: $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Adyacente: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{5^{1}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{5}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{25} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $5$ y $25$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\sqrt{\frac{5 (1)}{25} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.5.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 2.5.3

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $\frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 2.7.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.7.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 2.7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Paso 2.7.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Paso 2.7.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Paso 2.7.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}$

Paso 2.7.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5^{2}}}$

Paso 2.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.8.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{25}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{20}{25}}$

Paso 2.8.3

Cancela el factor común de $20$ y $25$ .

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Paso 2.8.3.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 (4)}{25}}$

Paso 2.8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.8.3.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Paso 2.8.3.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Paso 2.8.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}$

Paso 2.8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{1 + 4}{5}}$

Paso 2.8.4.2

Suma $1$ y $4$ .

$\sqrt{\frac{5}{5}}$

Paso 2.8.4.3

Divide $5$ por $5$ .

$\sqrt{1}$

Paso 2.8.4.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$1$

Paso 3

$\cos (θ) = \frac{Adyacente}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\cos (θ) = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{1}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{1}$

Paso 4

Divide $\frac{\sqrt{5}}{5}$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.44721359$