Precálculo Ejemplos

$x = y^{2} - 4 y$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $y^{2} - 4 y = x$ .

$y^{2} - 4 y = x$

Paso 2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 4 y - x = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = - x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Reescribe $- 4 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

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Paso 5.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Reescribe $- 4 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

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Paso 6.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

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Paso 7.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3

Reescribe $- 4 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

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Paso 7.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Paso 7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Paso 9

Intercambia las variables. Crea una ecuación para cada expresión.

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

Paso 10

Resuelve $y$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ .

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

Paso 10.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

Paso 10.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 10.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 10.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ como ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 10.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.4.2.1

Simplifica ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 10.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 10.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 10.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 10.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 10.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 10.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 10.4.2.1.4

Multiplica $- 1 (- y)$ .

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Paso 10.4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 10.4.2.1.4.2

Multiplica $y$ por $1$ .

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 10.4.2.1.5

Simplifica.

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

Paso 10.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.4.3.1

Simplifica ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 10.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

Paso 10.4.3.1.2

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Paso 10.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Paso 10.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 10.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 10.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 10.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Paso 10.4.3.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

Paso 10.5

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.5.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

Paso 10.5.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 4 x + 4 - 4$ .

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Paso 10.5.2.1

Resta $4$ de $4$ .

$y = x^{2} - 4 x + 0$

Paso 10.5.2.2

Suma $x^{2} - 4 x$ y $0$ .

$y = x^{2} - 4 x$

Paso 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Paso 12

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ es la inversa de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Paso 12.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ y $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ y compáralos.

Paso 12.2

Obtén el rango de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Paso 12.2.1

Obtén el rango de $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Paso 12.2.1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[2, \infty)$

Paso 12.2.2

Obtén el rango de $2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Paso 12.2.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2]$

Paso 12.2.3

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Paso 12.2.3.1

La unión consiste en todos los elementos contenidos en cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Paso 12.3

Obtén el dominio de $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Paso 12.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

Paso 12.3.2

Resuelve $x$

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Paso 12.3.2.1

Divide cada término en $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 12.3.2.1.1

Divide cada término de $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 12.3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.3.2.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 12.3.2.1.2.2

Divide $- 4 - x$ por $1$ .

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 12.3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.3.2.1.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$- 4 - x \leq 0$

Paso 12.3.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la desigualdad.

$- x \leq 4$

Paso 12.3.2.3

Divide cada término en $- x \leq 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 12.3.2.3.1

Divide cada término de $- x \leq 4$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Paso 12.3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.3.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Paso 12.3.2.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Paso 12.3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.3.2.3.3.1

Divide $4$ por $- 1$ .

$x \geq - 4$

Paso 12.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 4, \infty)$

Paso 12.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ es el rango de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ es el dominio de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ es la inversa de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Paso 13