Precálculo Ejemplos

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y - 37 = 0$

Paso 1

Suma $37$ a ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$

Paso 2

Completa el cuadrado de $12 x^{2} - 12 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 12$

$b = - 12$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 12}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (12)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 6}{12}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $12$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$d = \frac{6 (- 1)}{12}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 12}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 12)}^{2}$ y $12$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (12))}^{2}}{4 \cdot 12}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Paso 2.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Paso 2.4.2.1.1.4

Multiplica $12^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 12}$

Paso 2.4.2.1.1.5

Factoriza $12$ de $12^{2}$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{4 \cdot 12}$

Paso 2.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1.1.6.1

Factoriza $12$ de $4 \cdot 12$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{12}{4}$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común de $12$ y $4$ .

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Paso 2.4.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4}$

Paso 2.4.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Paso 2.4.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{3}{1}$

Paso 2.4.2.1.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Paso 2.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e = 0 - 3$

Paso 2.4.2.2

Resta $3$ de $0$ .

$e = - 3$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$

Paso 3

Sustituye $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ por $12 x^{2} - 12 x$ en la ecuación $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 + 20 y^{2} + 40 y = 37$

Paso 4

Mueve $- 3$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $3$ a ambos lados.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 y^{2} + 40 y = 37 + 3$

Paso 5

Completa el cuadrado de $20 y^{2} + 40 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 20$

$b = 40$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot 20}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $40$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 20$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (20)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{20}{20}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{20}{20}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 20}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $40$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 20}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $20$ .

$e = 0 - \frac{1600}{80}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $1600$ por $80$ .

$e = 0 - 1 \cdot 20$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$e = 0 - 20$

Paso 5.4.2.2

Resta $20$ de $0$ .

$e = - 20$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ .

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$

Paso 6

Sustituye $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ por $20 y^{2} + 40 y$ en la ecuación $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} - 20 = 37 + 3$

Paso 7

Mueve $- 20$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $20$ a ambos lados.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 37 + 3 + 20$

Paso 8

Simplifica $37 + 3 + 20$ .

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Paso 8.1

Suma $37$ y $3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 40 + 20$

Paso 8.2

Suma $40$ y $20$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 60$

Paso 9

Divide cada término por $60$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{12 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{60} + \frac{20 {(y + 1)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Paso 11

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 12

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

Paso 13

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 14

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1.1

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 15.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 15.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.1.4

Resta $3$ de $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 15.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 15.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 15.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 15.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 15.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 15.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 15.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 15.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 15.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 15.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 15.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 15.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 15.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Paso 15.4

Simplifica el numerador.

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Paso 15.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Paso 15.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Forma decimal:

$0.63245553 \dots$

Paso 17