Precálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = 5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2 = 0$ .

$5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.2.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 5$

Paso 1.2.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 2, \pm 0.4$

Paso 1.2.2.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.2.2.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$5 {(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2} + 9 \cdot - 1 + 2$

Paso 1.2.2.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$5 \cdot - 1 + 12 {(- 1)}^{2} + 9 \cdot - 1 + 2$

Paso 1.2.2.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 + 12 {(- 1)}^{2} + 9 \cdot - 1 + 2$

Paso 1.2.2.1.3.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 5 + 12 \cdot 1 + 9 \cdot - 1 + 2$

Paso 1.2.2.1.3.5

Multiplica $12$ por $1$ .

$- 5 + 12 + 9 \cdot - 1 + 2$

Paso 1.2.2.1.3.6

Suma $- 5$ y $12$ .

$7 + 9 \cdot - 1 + 2$

Paso 1.2.2.1.3.7

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$7 - 9 + 2$

Paso 1.2.2.1.3.8

Resta $9$ de $7$ .

$- 2 + 2$

Paso 1.2.2.1.3.9

Suma $- 2$ y $2$ .

$0$

Paso 1.2.2.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2}{x + 1}$

Paso 1.2.2.1.5

Divide $5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2$ por $x + 1$ .

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Paso 1.2.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$2$

Paso 1.2.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$

Paso 1.2.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			+	$5 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Paso 1.2.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{3} + 5 x^{2}$ .

				$5 x^{2}$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Paso 1.2.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Paso 1.2.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$

Paso 1.2.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $7 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$

Paso 1.2.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Paso 1.2.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $7 x^{2} + 7 x$ .

				$5 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Paso 1.2.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$2 x$

Paso 1.2.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$5 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Paso 1.2.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Paso 1.2.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Paso 1.2.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x + 2$ .

				$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Paso 1.2.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Paso 1.2.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$5 x^{2} + 7 x + 2$

Paso 1.2.2.1.6

Escribe $5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2$ como un conjunto de factores.

$(x + 1) (5 x^{2} + 7 x + 2) = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 2 = 10$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$(x + 1) (5 x^{2} + 7 (x) + 2) = 0$

Paso 1.2.2.2.1.1.2

Reescribe $7$ como $2$ más $5$

$(x + 1) (5 x^{2} + (2 + 5) x + 2) = 0$

Paso 1.2.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (5 x^{2} + 2 x + 5 x + 2) = 0$

Paso 1.2.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) ((5 x^{2} + 2 x) + 5 x + 2) = 0$

Paso 1.2.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) (x (5 x + 2) + 1 (5 x + 2)) = 0$

Paso 1.2.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x + 2$ .

$(x + 1) ((5 x + 2) (x + 1)) = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (5 x + 2) (x + 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$5 x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.5

Establece $5 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $5 x + 2$ igual a $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $5 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 2$

Paso 1.2.5.2.2

Divide cada término en $5 x = - 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.2.2.1

Divide cada término en $5 x = - 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 1.2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 1.2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Paso 1.2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{5}$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (5 x + 2) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - \frac{2}{5}$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(- 1, 0), (- \frac{2}{5}, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = 5 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 9 (0) + 2$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 5 \cdot 0^{3} + 12 {(0)}^{2} + 9 (0) + 2$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 5 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{2} + 9 (0) + 2$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 5 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 9 (0) + 2$

Paso 2.2.4

Simplifica $5 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 9 (0) + 2$ .

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Paso 2.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 5 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 9 (0) + 2$

Paso 2.2.4.1.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$y = 0 + 12 {(0)}^{2} + 9 (0) + 2$

Paso 2.2.4.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 12 \cdot 0 + 9 (0) + 2$

Paso 2.2.4.1.4

Multiplica $12$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 9 (0) + 2$

Paso 2.2.4.1.5

Multiplica $9$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 2$

Paso 2.2.4.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.4.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 + 2$

Paso 2.2.4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 2$

Paso 2.2.4.2.3

Suma $0$ y $2$ .

$y = 2$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 2)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(- 1, 0), (- \frac{2}{5}, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 2)$

Paso 4