Precálculo Ejemplos

$\csc (θ) - \sqrt{2} = 0$

Paso 1

Suma $\sqrt{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

Paso 2

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la cosecante.

$θ = arccsc (\sqrt{2})$

Paso 3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1

El valor exacto de $arccsc (\sqrt{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 4

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Paso 5

Simplifica $π - \frac{π}{4}$ .

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Paso 5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 5.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 6

Obtén el período de $\csc (θ)$ .

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Paso 6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7

El período de la función $\csc (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$