Precálculo Ejemplos

$x^{4} + 16 i = 0$

Paso 1

Resta $16 i$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} = - 16 i$

Paso 2

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 3

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = - 16$ .

$| z | = \sqrt{{(- 16)}^{2}}$

Paso 5

Obtén $| z |$ .

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Paso 5.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{256}$

Paso 5.2

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$| z | = \sqrt{16^{2}}$

Paso 5.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 16$

Paso 6

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 16}{0})$

Paso 7

Como el argumento es indefinido y $b$ es negativa, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 8

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{2}$ y $| z | = 16$ .

$16 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 9

Reemplaza el lado derecho de la ecuación con la forma trigonométrica.

$x^{4} = 16 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$