Precálculo Ejemplos

\cos (\arccos (x) + \arcsin (x))

$\cos (\arccos (x) + \arcsin (x))$

Paso 1

Aplica la suma de la razón de los ángulos

\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

\cos (\arccos (x)) \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

x \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))

$x \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.2

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices

(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ ,

(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces

\arcsin (x)

$\arcsin (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por

(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Por lo tanto,

\cos (\arcsin (x))

$\cos (\arcsin (x))$ es

\sqrt{1 - x^{2}}

$\sqrt{1 - x^{2}}$ .

x \sqrt{1 - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))

$x \sqrt{1 - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.3

Reescribe

1

$1$ como

1^{2}

$1^{2}$ .

x \sqrt{1^{2} - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))

$x \sqrt{1^{2} - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

a = 1

$a = 1$ y

b = x

$b = x$ .

x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.5

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices

(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})

$(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ ,

(x, 0)

$(x, 0)$ y el origen. Entonces

\arccos (x)

$\arccos (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por

(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})

$(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Por lo tanto,

\sin (\arccos (x))

$\sin (\arccos (x))$ es

\sqrt{1 - x^{2}}

$\sqrt{1 - x^{2}}$ .

x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arcsin (x))

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.6

Reescribe

1

$1$ como

1^{2}

$1^{2}$ .

x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arcsin (x))

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

a = 1

$a = 1$ y

b = x

$b = x$ .

x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arcsin (x))

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.8

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$

x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en

x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ .

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Paso 2.2.1

Reordena los factores en los términos

x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ y

- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x

$- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ .

x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 2.2.2

Resta

x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ de

x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$