Precálculo Ejemplos

$\cos (\arccos (x) + \arcsin (x))$

Paso 1

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$x \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.2

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Por lo tanto, $\cos (\arcsin (x))$ es $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x \sqrt{1 - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x \sqrt{1^{2} - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.5

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Por lo tanto, $\sin (\arccos (x))$ es $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arcsin (x))$

Paso 2.1.8

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ .

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Paso 2.2.1

Reordena los factores en los términos $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ y $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 2.2.2

Resta $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ de $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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