Precálculo Ejemplos

$1$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{16}$ , $\frac{1}{64}$ , $\frac{1}{256}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $\frac{1}{4}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = \frac{1}{4}$

Paso 2

Esta es la forma de una progresión geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Paso 3

Sustituye los valores de $a_{1} = 1$ y $r = \frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Paso 4

Multiplica ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ por $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Paso 5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Paso 6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$a_{n} = \frac{1}{4^{n - 1}}$

Paso 7

Esta es la fórmula para obtener la suma de los primeros términos $n$ de la progresión geométrica. Para evaluarla, obtén los valores de $r$ y $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Paso 8

Reemplaza las variables con los valores conocidos para obtener $S_{5}$ .

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 9

Multiplica $\frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ por $1$ .

$S_{5} = \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 10

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Multiplica $\frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$S_{5} = \frac{4}{4} \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 10.2

Combinar.

$S_{5} = \frac{4 ({(\frac{1}{4})}^{5} - 1)}{4 (\frac{1}{4} - 1)}$

Paso 11

Aplica la propiedad distributiva.

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

Paso 12

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Cancela el factor común.

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

Paso 12.2

Reescribe la expresión.

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4^{5}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Factoriza $4$ de $4^{5}$ .

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4 \cdot 4^{4}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13.2.2

Cancela el factor común.

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4 \cdot 4^{4}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13.2.3

Reescribe la expresión.

$S_{5} = \frac{\frac{1^{5}}{4^{4}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$S_{5} = \frac{\frac{1}{4^{4}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13.4

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} - 4}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13.6

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{256}{256}$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} - 4 \cdot \frac{256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13.7

Combina $- 4$ y $\frac{256}{256}$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} + \frac{- 4 \cdot 256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{5} = \frac{\frac{1 - 4 \cdot 256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.9.1

Multiplica $- 4$ por $256$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1 - 1024}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13.9.2

Resta $1024$ de $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1023}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 13.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Paso 14

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{1 - 4}$

Paso 14.2

Resta $4$ de $1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{- 3}$

Paso 15

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$S_{5} = - \frac{1023}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

Paso 16

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1023}{256}$ al numerador.

$S_{5} = \frac{- 1023}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

Paso 16.2

Factoriza $3$ de $- 1023$ .

$S_{5} = \frac{3 (- 341)}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

Paso 16.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$S_{5} = \frac{3 \cdot - 341}{256} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Paso 16.4

Cancela el factor común.

$S_{5} = \frac{3 \cdot - 341}{256} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Paso 16.5

Reescribe la expresión.

$S_{5} = \frac{- 341}{256} \cdot \frac{1}{- 1}$

Paso 17

Multiplica $\frac{- 341}{256}$ por $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{5} = \frac{- 341}{256 \cdot - 1}$

Paso 18

Multiplica $256$ por $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- 341}{- 256}$

Paso 19

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$S_{5} = \frac{341}{256}$