Precálculo Ejemplos

$\frac{1 - x^{2}}{x - 2}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{1 - x^{2}}{x - 2}$ no está definida.

$x = 2$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{x - 2}$

Paso 5.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{x - 2}$

Paso 5.2

Expande $(1 + x) (1 - x)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x - 2}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x - 2}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x - 2}$

Paso 5.2.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x - 2}$

Paso 5.2.5

Reordena $x$ y $1$ .

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot x + x (- x)}{x - 2}$

Paso 5.2.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}{x - 2}$

Paso 5.2.7

Reordena $x$ y $- 1$ .

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 \cdot (x \cdot x)}{x - 2}$

Paso 5.2.8

Multiplica $- 1$ por $x$ .

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 x \cdot x}{x - 2}$

Paso 5.2.9

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 x \cdot x}{x - 2}$

Paso 5.2.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x - 2}$

Paso 5.2.11

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x - 2}$

Paso 5.2.12

Factoriza el negativo.

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x - 2}$

Paso 5.2.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x - 2}$

Paso 5.2.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x - 2}$

Paso 5.2.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x - 2}$

Paso 5.2.16

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 - x + x - x^{2}}{x - 2}$

Paso 5.2.17

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{1 + 0 - x^{2}}{x - 2}$

Paso 5.2.18

Resta $x^{2}$ de $0$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x - 2}$

Paso 5.2.19

Reordena $1$ y $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{x - 2}$

Paso 5.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 5.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$x$
	$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Paso 5.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Paso 5.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} + 2 x$ .

			-	$x$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Paso 5.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$

Paso 5.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$1$

Paso 5.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$1$

Paso 5.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$1$
					-	$2 x$	+	$4$

Paso 5.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x + 4$ .

			-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$4$

Paso 5.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$4$
							-	$3$

Paso 5.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- x - 2 - \frac{3}{x - 2}$

Paso 5.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - x - 2$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 2$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - x - 2$

Paso 7