Precálculo Ejemplos

$\sqrt{1 - k} - \sqrt{3 k + 1} = - 2$

Paso 1

Suma $\sqrt{3 k + 1}$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{1 - k} = - 2 + \sqrt{3 k + 1}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 - k}}^{2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - k}$ como ${(1 - k)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - k)}^{1} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$1 - k = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$ como $(- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$ .

$1 - k = (- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - k = - 2 (- 2 + \sqrt{3 k + 1}) + \sqrt{3 k + 1} (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - k = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - k = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \cdot - 2 + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \cdot - 2 + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\sqrt{3 k + 1}$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \cdot \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{3 k + 1}$ a la potencia de $1$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1} \sqrt{3 k + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{3 k + 1}$ a la potencia de $1$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1} {\sqrt{3 k + 1}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{3 k + 1}}^{2}$ como $3 k + 1$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 k + 1}$ como ${(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.5

Simplifica.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + 3 k + 1$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $4$ y $1$ .

$1 - k = 5 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + 3 k$

Paso 3.3.1.3.3

Resta $2 \sqrt{3 k + 1}$ de $- 2 \sqrt{3 k + 1}$ .

$1 - k = 5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k$

Paso 4

Resuelve $- 4 \sqrt{3 k + 1}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k$ .

$5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $- 4 \sqrt{3 k + 1}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k - 5$

Paso 4.2.2

Resta $3 k$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = 1 - k - 5 - 3 k$

Paso 4.2.3

Resta $5$ de $1$ .

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = - k - 4 - 3 k$

Paso 4.2.4

Resta $3 k$ de $- k$ .

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = - 4 k - 4$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 4 \sqrt{3 k + 1})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 k + 1}$ como ${(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$16 {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$16 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$16 {(3 k + 1)}^{1} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$16 (3 k + 1) = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$16 (3 k) + 16 \cdot 1 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica.

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Paso 6.2.1.6.1

Multiplica $3$ por $16$ .

$48 k + 16 \cdot 1 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Paso 6.2.1.6.2

Multiplica $16$ por $1$ .

$48 k + 16 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(- 4 k - 4)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1

Reescribe ${(- 4 k - 4)}^{2}$ como $(- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$ .

$48 k + 16 = (- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$

Paso 6.3.1.2

Expande $(- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k - 4) - 4 (- 4 k - 4)$

Paso 6.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k - 4)$

Paso 6.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Paso 6.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 k \cdot k - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Paso 6.3.1.3.1.2

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.3.1.2.1

Mueve $k$ .

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 (k \cdot k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Paso 6.3.1.3.1.2.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 k^{2} - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Paso 6.3.1.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Paso 6.3.1.3.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Paso 6.3.1.3.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k + 16 k - 4 \cdot - 4$

Paso 6.3.1.3.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k + 16 k + 16$

Paso 6.3.1.3.2

Suma $16 k$ y $16 k$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 32 k + 16$

Paso 7

Resuelve $k$

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Paso 7.1

Como $k$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$16 k^{2} + 32 k + 16 = 48 k + 16$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que contengan $k$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Resta $48 k$ de ambos lados de la ecuación.

$16 k^{2} + 32 k + 16 - 48 k = 16$

Paso 7.2.2

Resta $48 k$ de $32 k$ .

$16 k^{2} - 16 k + 16 = 16$

Paso 7.3

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$16 k^{2} - 16 k + 16 - 16 = 0$

Paso 7.4

Combina los términos opuestos en $16 k^{2} - 16 k + 16 - 16$ .

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Paso 7.4.1

Resta $16$ de $16$ .

$16 k^{2} - 16 k + 0 = 0$

Paso 7.4.2

Suma $16 k^{2} - 16 k$ y $0$ .

$16 k^{2} - 16 k = 0$

Paso 7.5

Factoriza $16 k$ de $16 k^{2} - 16 k$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $16 k$ de $16 k^{2}$ .

$16 k (k) - 16 k = 0$

Paso 7.5.2

Factoriza $16 k$ de $- 16 k$ .

$16 k (k) + 16 k (- 1) = 0$

Paso 7.5.3

Factoriza $16 k$ de $16 k (k) + 16 k (- 1)$ .

$16 k (k - 1) = 0$

Paso 7.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$k = 0$

$k - 1 = 0$

Paso 7.7

Establece $k$ igual a $0$ .

$k = 0$

Paso 7.8

Establece $k - 1$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 7.8.1

Establece $k - 1$ igual a $0$ .

$k - 1 = 0$

Paso 7.8.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$k = 1$

Paso 7.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $16 k (k - 1) = 0$ verdadera.

$k = 0, 1$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{1 - k} - \sqrt{3 k + 1} = - 2$ sea verdadera.

$k = 1$