Precálculo Ejemplos

$3 y + 2 = \sqrt{y^{2} + 10 y + 7}$

Paso 1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\sqrt{y^{2} + 10 y + 7} = 3 y + 2$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y^{2} + 10 y + 7}}^{2} = {(3 y + 2)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y^{2} + 10 y + 7}$ como ${(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y + 2)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y^{2} + 10 y + 7)}^{1} = {(3 y + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$y^{2} + 10 y + 7 = {(3 y + 2)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(3 y + 2)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(3 y + 2)}^{2}$ como $(3 y + 2) (3 y + 2)$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = (3 y + 2) (3 y + 2)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(3 y + 2) (3 y + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 y (3 y + 2) + 2 (3 y + 2)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y + 2)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 6 y + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 6 y + 6 y + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 6 y + 6 y + 4$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $6 y$ y $6 y$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 12 y + 4$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $9 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + 10 y + 7 - 9 y^{2} = 12 y + 4$

Paso 4.1.2

Resta $12 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + 10 y + 7 - 9 y^{2} - 12 y = 4$

Paso 4.1.3

Resta $9 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$- 8 y^{2} + 10 y + 7 - 12 y = 4$

Paso 4.1.4

Resta $12 y$ de $10 y$ .

$- 8 y^{2} - 2 y + 7 = 4$

Paso 4.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 y^{2} - 2 y + 7 - 4 = 0$

Paso 4.3

Resta $4$ de $7$ .

$- 8 y^{2} - 2 y + 3 = 0$

Paso 4.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Factoriza $- 1$ de $- 8 y^{2} - 2 y + 3$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 8 y^{2}$ .

$- (8 y^{2}) - 2 y + 3 = 0$

Paso 4.4.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$- (8 y^{2}) - (2 y) + 3 = 0$

Paso 4.4.1.3

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (8 y^{2}) - (2 y) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 4.4.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (8 y^{2}) - (2 y)$ .

$- (8 y^{2} + 2 y) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 4.4.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (8 y^{2} + 2 y) - 1 (- 3)$ .

$- (8 y^{2} + 2 y - 3) = 0$

Paso 4.4.2

Factoriza.

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Paso 4.4.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.4.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 8 \cdot - 3 = - 24$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 4.4.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$- (8 y^{2} + 2 (y) - 3) = 0$

Paso 4.4.2.1.1.2

Reescribe $2$ como $- 4$ más $6$

$- (8 y^{2} + (- 4 + 6) y - 3) = 0$

Paso 4.4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (8 y^{2} - 4 y + 6 y - 3) = 0$

Paso 4.4.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.4.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((8 y^{2} - 4 y) + 6 y - 3) = 0$

Paso 4.4.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (4 y (2 y - 1) + 3 (2 y - 1)) = 0$

Paso 4.4.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y - 1$ .

$- ((2 y - 1) (4 y + 3)) = 0$

Paso 4.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (2 y - 1) (4 y + 3) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$4 y + 3 = 0$

Paso 4.6

Establece $2 y - 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.6.1

Establece $2 y - 1$ igual a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Paso 4.6.2

Resuelve $2 y - 1 = 0$ en $y$ .

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Paso 4.6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 1$

Paso 4.6.2.2

Divide cada término en $2 y = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.6.2.2.1

Divide cada término en $2 y = 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.6.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 4.7

Establece $4 y + 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.7.1

Establece $4 y + 3$ igual a $0$ .

$4 y + 3 = 0$

Paso 4.7.2

Resuelve $4 y + 3 = 0$ en $y$ .

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Paso 4.7.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y = - 3$

Paso 4.7.2.2

Divide cada término en $4 y = - 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.7.2.2.1

Divide cada término en $4 y = - 3$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.7.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.7.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3}{4}$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (2 y - 1) (4 y + 3) = 0$ verdadera.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{3}{4}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $3 y + 2 = \sqrt{y^{2} + 10 y + 7}$ sea verdadera.

$y = \frac{1}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$y = 0.5$