Precálculo Ejemplos

$\ln (3 y + 5) - \ln (y - 1) = \ln (- 4 y + 10)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3 y + 5}{y - 1}) = \ln (- 4 y + 10)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y - 1, 1, 1$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis.

$y - 1, 1, 1$

Paso 3.1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y - 1$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ por $y - 1$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ por $y - 1$ .

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 y + 5 = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y + 5 = - 4 y \cdot y - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$3 y + 5 = - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Paso 3.2.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Paso 3.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 (y - 1)$

Paso 3.2.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y + 10 \cdot - 1$

Paso 3.2.3.1.5

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y - 10$

Paso 3.2.3.2

Suma $4 y$ y $10 y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 14 y - 10$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 = 3 y + 5$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 - 3 y = 5$

Paso 3.3.2.2

Resta $3 y$ de $14 y$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 = 5$

Paso 3.3.3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 - 5 = 0$

Paso 3.3.3.2

Resta $5$ de $- 10$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 15 = 0$

Paso 3.3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3.5

Sustituye los valores $a = - 4$ , $b = 11$ y $c = - 15$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 4}$

Paso 3.3.6

Simplifica.

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Paso 3.3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.6.1.1

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

Paso 3.3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 4 \cdot - 15$ .

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Paso 3.3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 16 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

Paso 3.3.6.1.2.2

Multiplica $16$ por $- 15$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 240}}{2 \cdot - 4}$

Paso 3.3.6.1.3

Resta $240$ de $121$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot - 4}$

Paso 3.3.6.1.4

Reescribe $- 119$ como $- 1 (119)$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot - 4}$

Paso 3.3.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (119)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

Paso 3.3.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$

Paso 3.3.6.3

Simplifica $\frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$ .

$y = \frac{11 \pm i \sqrt{119}}{8}$

Paso 3.3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{11 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{11 - i \sqrt{119}}{8}$