Precálculo Ejemplos

$9000 = 12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}} = 9000$ .

$12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}} = 9000$

Paso 2

Divide cada término en $12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}} = 9000$ por $12000$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}} = 9000$ por $12000$ .

$\frac{12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}}}{12000} = \frac{9000}{12000}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $12000$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}}}{12000} = \frac{9000}{12000}$

Paso 2.2.1.2

Divide $2^{- \frac{t}{15}}$ por $1$ .

$2^{- \frac{t}{15}} = \frac{9000}{12000}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $9000$ y $12000$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $3000$ de $9000$ .

$2^{- \frac{t}{15}} = \frac{3000 (3)}{12000}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $3000$ de $12000$ .

$2^{- \frac{t}{15}} = \frac{3000 \cdot 3}{3000 \cdot 4}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$2^{- \frac{t}{15}} = \frac{3000 \cdot 3}{3000 \cdot 4}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2^{- \frac{t}{15}} = \frac{3}{4}$

Paso 3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{- \frac{t}{15}}) = \ln (\frac{3}{4})$

Paso 4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Expande $\ln (2^{- \frac{t}{15}})$ ; para ello, mueve $- \frac{t}{15}$ fuera del logaritmo.

$- \frac{t}{15} \ln (2) = \ln (\frac{3}{4})$

Paso 4.2

Combina $\ln (2)$ y $\frac{t}{15}$ .

$- \frac{\ln (2) t}{15} = \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1

Reordena los factores en $- \frac{\ln (2) t}{15}$ .

$- \frac{t \ln (2)}{15} = \ln (\frac{3}{4})$

Paso 6

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{15}{\ln (2)}$ .

$- \frac{15}{\ln (2)} (- \frac{t \ln (2)}{15}) = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Paso 7

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1

Simplifica $- \frac{15}{\ln (2)} (- \frac{t \ln (2)}{15})$ .

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Paso 7.1.1.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 7.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{15}{\ln (2)}$ al numerador.

$\frac{- 15}{\ln (2)} (- \frac{t \ln (2)}{15}) = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Paso 7.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{t \ln (2)}{15}$ al numerador.

$\frac{- 15}{\ln (2)} \cdot \frac{- t \ln (2)}{15} = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Paso 7.1.1.1.3

Factoriza $15$ de $- 15$ .

$\frac{15 (- 1)}{\ln (2)} \cdot \frac{- t \ln (2)}{15} = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Paso 7.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{15 \cdot - 1}{\ln (2)} \cdot \frac{- t \ln (2)}{15} = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Paso 7.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{\ln (2)} (- t \ln (2)) = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Paso 7.1.1.2

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 7.1.1.2.1

Factoriza $\ln (2)$ de $- t \ln (2)$ .

$\frac{- 1}{\ln (2)} (\ln (2) (- t)) = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Paso 7.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{\ln (2)} (\ln (2) (- t)) = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Paso 7.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- - t = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Paso 7.1.1.3

Multiplica.

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Paso 7.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 t = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Paso 7.1.1.3.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$t = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Simplifica $- \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$ .

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Paso 7.2.1.1

Combina $\ln (\frac{3}{4})$ y $\frac{15}{\ln (2)}$ .

$t = - \frac{\ln (\frac{3}{4}) \cdot 15}{\ln (2)}$

Paso 7.2.1.2

Mueve $15$ a la izquierda de $\ln (\frac{3}{4})$ .

$t = - \frac{15 \ln (\frac{3}{4})}{\ln (2)}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = - \frac{15 \ln (\frac{3}{4})}{\ln (2)}$

Forma decimal:

$t = 6.22556248 \dots$