Precálculo Ejemplos

$75 = - 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) + 65$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) + 65 = 75$ .

$- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) + 65 = 75$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan $\cos (\frac{2 π}{15} t)$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $65$ de ambos lados de la ecuación.

$- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) = 75 - 65$

Paso 2.2

Resta $65$ de $75$ .

$- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) = 10$

Paso 3

Divide cada término en $- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) = 10$ por $- 15$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) = 10$ por $- 15$ .

$\frac{- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t)}{- 15} = \frac{10}{- 15}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $- 15$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t)}{- 15} = \frac{10}{- 15}$

Paso 3.2.1.2

Divide $\cos (\frac{2 π}{15} t)$ por $1$ .

$\cos (\frac{2 π}{15} t) = \frac{10}{- 15}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $- 15$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\cos (\frac{2 π}{15} t) = \frac{5 (2)}{- 15}$

Paso 3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $- 15$ .

$\cos (\frac{2 π}{15} t) = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot - 3}$

Paso 3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\cos (\frac{2 π}{15} t) = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot - 3}$

Paso 3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{2 π}{15} t) = \frac{2}{- 3}$

Paso 3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (\frac{2 π}{15} t) = - \frac{2}{3}$

Paso 4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior del coseno.

$\frac{2 π}{15} t = \arccos (- \frac{2}{3})$

Paso 5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1

Combina $\frac{2 π}{15}$ y $t$ .

$\frac{2 π t}{15} = \arccos (- \frac{2}{3})$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

Evalúa $\arccos (- \frac{2}{3})$ .

$\frac{2 π t}{15} = 2.30052398$

Paso 7

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{15}{2 π}$ .

$\frac{15}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{15} = \frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$

Paso 8

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 8.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.1

Simplifica $\frac{15}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{15}$ .

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Paso 8.1.1.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 8.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{15}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{15} = \frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$

Paso 8.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$

Paso 8.1.1.2

Cancela el factor común de $2 π$ .

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Paso 8.1.1.2.1

Factoriza $2 π$ de $2 π t$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$

Paso 8.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$

Paso 8.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$t = \frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1

Simplifica $\frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$ .

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Paso 8.2.1.1

Multiplica $\frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Combina $\frac{15}{2 π}$ y $2.30052398$ .

$t = \frac{15 \cdot 2.30052398}{2 π}$

Paso 8.2.1.1.2

Multiplica $15$ por $2.30052398$ .

$t = \frac{34.50785974}{2 π}$

Paso 8.2.1.2

Reemplaza $π$ con una aproximación.

$t = \frac{34.50785974}{2 \cdot 3.14159265}$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$t = \frac{34.50785974}{6.2831853}$

Paso 8.2.1.4

Divide $34.50785974$ por $6.2831853$ .

$t = 5.49209645$

Paso 9

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{2 π t}{15} = 2 (3.14159265) - 2.30052398$

Paso 10

Resuelve $t$

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Paso 10.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{15}{2 π}$ .

$\frac{15}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{15} = \frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Paso 10.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 10.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1.1

Simplifica $\frac{15}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{15}$ .

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Paso 10.2.1.1.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 10.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{15}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{15} = \frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Paso 10.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Paso 10.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2 π$ .

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Paso 10.2.1.1.2.1

Factoriza $2 π$ de $2 π t$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Paso 10.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Paso 10.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$t = \frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Paso 10.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica $\frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$ .

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Paso 10.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$t = \frac{15}{2 π} (6.2831853 - 2.30052398)$

Paso 10.2.2.1.2

Resta $2.30052398$ de $6.2831853$ .

$t = \frac{15}{2 π} \cdot 3.98266132$

Paso 10.2.2.1.3

Multiplica $\frac{15}{2 π} \cdot 3.98266132$ .

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Paso 10.2.2.1.3.1

Combina $\frac{15}{2 π}$ y $3.98266132$ .

$t = \frac{15 \cdot 3.98266132}{2 π}$

Paso 10.2.2.1.3.2

Multiplica $15$ por $3.98266132$ .

$t = \frac{59.73991986}{2 π}$

Paso 10.2.2.1.4

Reemplaza $π$ con una aproximación.

$t = \frac{59.73991986}{2 \cdot 3.14159265}$

Paso 10.2.2.1.5

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$t = \frac{59.73991986}{6.2831853}$

Paso 10.2.2.1.6

Divide $59.73991986$ por $6.2831853$ .

$t = 9.50790354$

Paso 11

Obtén el período de $\cos (\frac{2 π}{15} t)$ .

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Paso 11.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 11.2

Reemplaza $b$ con $\frac{2 π}{15}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{15} |}$

Paso 11.3

$\frac{2 π}{15}$ es aproximadamente $0.41887902$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{15}}$

Paso 11.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{15}{2 π}$

Paso 11.5

Cancela el factor común de $2 π$ .

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Paso 11.5.1

Cancela el factor común.

$2 π \frac{15}{2 π}$

Paso 11.5.2

Reescribe la expresión.

$15$

Paso 12

El período de la función $\cos (\frac{2 π}{15} t)$ es $15$ , por lo que los valores se repetirán cada $15$ radianes en ambas direcciones.

$t = 5.49209645 + 15 n, 9.50790354 + 15 n$ , para cualquier número entero $n$