Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{20 x^{2} + 28 x - 3}{- 10 x + 1}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{20 x^{2} + 28 x - 3}{- 10 x + 1}$ no está definida.

$x = \frac{1}{10}$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 20 \cdot - 3 = - 60$ y cuya suma es $b = 28$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $28$ de $28 x$ .

$\frac{20 x^{2} + 28 (x) - 3}{- 10 x + 1}$

Paso 6.1.1.1.2

Reescribe $28$ como $- 2$ más $30$

$\frac{20 x^{2} + (- 2 + 30) x - 3}{- 10 x + 1}$

Paso 6.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{20 x^{2} - 2 x + 30 x - 3}{- 10 x + 1}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(20 x^{2} - 2 x) + 30 x - 3}{- 10 x + 1}$

Paso 6.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 x (10 x - 1) + 3 (10 x - 1)}{- 10 x + 1}$

Paso 6.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $10 x - 1$ .

$\frac{(10 x - 1) (2 x + 3)}{- 10 x + 1}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común de $10 x - 1$ y $- 10 x + 1$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $10 x$ .

$\frac{(- (- 10 x) - 1) (2 x + 3)}{- 10 x + 1}$

Paso 6.1.2.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (- 10 x) - 1 (1)) (2 x + 3)}{- 10 x + 1}$

Paso 6.1.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 10 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (- 10 x + 1) (2 x + 3)}{- 10 x + 1}$

Paso 6.1.2.4

Reescribe $- (- 10 x + 1)$ como $- 1 (- 10 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (- 10 x + 1) (2 x + 3)}{- 10 x + 1}$

Paso 6.1.2.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- 10 x + 1) (2 x + 3)}{- 10 x + 1}$

Paso 6.1.2.6

Divide $- 1 (2 x + 3)$ por $1$ .

$- 1 (2 x + 3)$

Paso 6.1.3

Reescribe $- 1 (2 x + 3)$ como $- (2 x + 3)$ .

$- (2 x + 3)$

Paso 6.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 x) - 1 \cdot 3$

Paso 6.1.5

Multiplica.

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Paso 6.1.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x - 1 \cdot 3$

Paso 6.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 2 x - 3$

Paso 6.2

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - 2 x - 3$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - 2 x - 3$

Paso 8