Precálculo Ejemplos

$- 16 y + 52 = - 2 x^{2} - 8 x - y^{2}$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1

Suma $2 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 16 y + 52 + 2 x^{2} = - 8 x - y^{2}$

Paso 1.2

Suma $8 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 16 y + 52 + 2 x^{2} + 8 x = - y^{2}$

Paso 1.3

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 16 y + 52 + 2 x^{2} + 8 x + y^{2} = 0$

Paso 1.4

Mueve $52$ .

$- 16 y + 2 x^{2} + 8 x + y^{2} + 52 = 0$

Paso 1.5

Mueve $- 16 y$ .

$2 x^{2} + 8 x + y^{2} - 16 y + 52 = 0$

Paso 1.6

Mueve $8 x$ .

$2 x^{2} + y^{2} + 8 x - 16 y + 52 = 0$

Paso 2

Resta $52$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + y^{2} + 8 x - 16 y = - 52$

Paso 3

Completa el cuadrado de $2 x^{2} + 8 x$ .

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 8$

$c = 0$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (2)}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{2}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 3.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 2}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{8}$

Paso 3.4.2.1.3

Divide $64$ por $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 8$

Paso 3.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$e = 0 - 8$

Paso 3.4.2.2

Resta $8$ de $0$ .

$e = - 8$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(x + 2)}^{2} - 8$ .

$2 {(x + 2)}^{2} - 8$

Paso 4

Sustituye $2 {(x + 2)}^{2} - 8$ por $2 x^{2} + 8 x$ en la ecuación $2 x^{2} + y^{2} + 8 x - 16 y = - 52$ .

$2 {(x + 2)}^{2} - 8 + y^{2} - 16 y = - 52$

Paso 5

Mueve $- 8$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $8$ a ambos lados.

$2 {(x + 2)}^{2} + y^{2} - 16 y = - 52 + 8$

Paso 6

Completa el cuadrado de $y^{2} - 16 y$ .

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Paso 6.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 16$

$c = 0$

Paso 6.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común de $- 16$ y $2$ .

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}$

Paso 6.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 8}{1}$

Paso 6.3.2.2.4

Divide $- 8$ por $1$ .

$d = - 8$

Paso 6.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{256}{4}$

Paso 6.4.2.1.3

Divide $256$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Paso 6.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$e = 0 - 64$

Paso 6.4.2.2

Resta $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Paso 6.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 8)}^{2} - 64$ .

${(y - 8)}^{2} - 64$

Paso 7

Sustituye ${(y - 8)}^{2} - 64$ por $y^{2} - 16 y$ en la ecuación $2 x^{2} + y^{2} + 8 x - 16 y = - 52$ .

$2 {(x + 2)}^{2} + {(y - 8)}^{2} - 64 = - 52 + 8$

Paso 8

Mueve $- 64$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $64$ a ambos lados.

$2 {(x + 2)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = - 52 + 8 + 64$

Paso 9

Simplifica $- 52 + 8 + 64$ .

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Paso 9.1

Suma $- 52$ y $8$ .

$2 {(x + 2)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = - 44 + 64$

Paso 9.2

Suma $- 44$ y $64$ .

$2 {(x + 2)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 20$

Paso 10

Divide cada término por $20$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{2 {(x + 2)}^{2}}{20} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{20} = \frac{20}{20}$

Paso 11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{10} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{20} = 1$