Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$

Paso 1

Completa el cuadrado de $x^{2} - \frac{1}{2} x$ .

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Paso 1.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2}$

Paso 1.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = 0$

Paso 1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común de $- 1$ y $1$ .

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Paso 1.4.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Paso 1.4.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.4.2.3

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.4.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$d = - \frac{1}{4}$

Paso 1.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Paso 1.5.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 1.5.2.1.4

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 1.5.2.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Paso 1.5.2.1.4.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Paso 1.5.2.2

Resta $\frac{1}{16}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Paso 1.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Paso 2

Sustituye ${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ por $x^{2} - \frac{1}{2} x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + y^{2} + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$

Paso 3

Mueve $- \frac{1}{16}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{16}$ a ambos lados.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Paso 4

Completa el cuadrado de $y^{2} + \frac{1}{2} y$ .

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y$ .

$y^{2} + \frac{y}{2}$

Paso 4.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

Paso 4.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 4.4.2.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.4.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 4.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Paso 4.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Paso 4.5.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 4.5.2.1.4

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 4.5.2.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Paso 4.5.2.1.4.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Paso 4.5.2.2

Resta $\frac{1}{16}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Paso 4.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ .

${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Paso 5

Sustituye ${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ por $y^{2} + \frac{1}{2} y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Paso 6

Mueve $- \frac{1}{16}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{16}$ a ambos lados.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$

Paso 7

Simplifica $\frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$ .

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1 + 1}{16}$

Paso 7.2

Suma $1$ y $1$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2}{16}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $2$ y $16$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 (1)}{16}$

Paso 7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Paso 7.3.2.3

Reescribe la expresión.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1 + 1}{8}$

Paso 7.5

Suma $1$ y $1$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2}{8}$

Paso 7.6

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 7.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 (1)}{8}$

Paso 7.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.6.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Paso 7.6.2.2

Cancela el factor común.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Paso 7.6.2.3

Reescribe la expresión.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{4}$