Precálculo Ejemplos

${(x + y)}^{14}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 12 - 66 - 220 - 495 - 792 - 924 - 792 - 495 - 220 - 66 - 12 - 1$

$1 - 13 - 78 - 286 - 715 - 1287 - 1716 - 1716 - 1287 - 715 - 286 - 78 - 13 - 1$

$1 - 14 - 91 - 364 - 1001 - 2002 - 3003 - 3432 - 3003 - 2002 - 1001 - 364 - 91 - 14 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(x + y)}^{14}$ , $n = 14$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $15$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 14 - 91 - 364 - 1001 - 2002 - 3003 - 3432 - 3003 - 2002 - 1001 - 364 - 91 - 14 - 1$ .

$1 a^{14} b^{0} + 14 a^{13} b + 91 a^{12} b^{2} + 364 a^{11} b^{3} + 1001 a^{10} b^{4} + 2002 a^{9} b^{5} + 3003 a^{8} b^{6} + 3432 a^{7} b^{7} + 3003 a^{6} b^{8} + 2002 a^{5} b^{9} + 1001 a^{4} b^{10} + 364 a^{3} b^{11} + 91 a^{2} b^{12} + 14 a b^{13} + 1 a^{0} b^{14}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $x$ y $b$ en la expresión $y$ .

$1 {(x)}^{14} {(y)}^{0} + 14 {(x)}^{13} {(y)}^{1} + 91 {(x)}^{12} {(y)}^{2} + 364 {(x)}^{11} {(y)}^{3} + 1001 {(x)}^{10} {(y)}^{4} + 2002 {(x)}^{9} {(y)}^{5} + 3003 {(x)}^{8} {(y)}^{6} + 3432 {(x)}^{7} {(y)}^{7} + 3003 {(x)}^{6} {(y)}^{8} + 2002 {(x)}^{5} {(y)}^{9} + 1001 {(x)}^{4} {(y)}^{10} + 364 {(x)}^{3} {(y)}^{11} + 91 {(x)}^{2} {(y)}^{12} + 14 {(x)}^{1} {(y)}^{13} + 1 {(x)}^{0} {(y)}^{14}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(x)}^{14}$ por $1$ .

${(x)}^{14} {(y)}^{0} + 14 {(x)}^{13} {(y)}^{1} + 91 {(x)}^{12} {(y)}^{2} + 364 {(x)}^{11} {(y)}^{3} + 1001 {(x)}^{10} {(y)}^{4} + 2002 {(x)}^{9} {(y)}^{5} + 3003 {(x)}^{8} {(y)}^{6} + 3432 {(x)}^{7} {(y)}^{7} + 3003 {(x)}^{6} {(y)}^{8} + 2002 {(x)}^{5} {(y)}^{9} + 1001 {(x)}^{4} {(y)}^{10} + 364 {(x)}^{3} {(y)}^{11} + 91 {(x)}^{2} {(y)}^{12} + 14 {(x)}^{1} {(y)}^{13} + 1 {(x)}^{0} {(y)}^{14}$

Paso 4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{14} \cdot 1 + 14 {(x)}^{13} {(y)}^{1} + 91 {(x)}^{12} {(y)}^{2} + 364 {(x)}^{11} {(y)}^{3} + 1001 {(x)}^{10} {(y)}^{4} + 2002 {(x)}^{9} {(y)}^{5} + 3003 {(x)}^{8} {(y)}^{6} + 3432 {(x)}^{7} {(y)}^{7} + 3003 {(x)}^{6} {(y)}^{8} + 2002 {(x)}^{5} {(y)}^{9} + 1001 {(x)}^{4} {(y)}^{10} + 364 {(x)}^{3} {(y)}^{11} + 91 {(x)}^{2} {(y)}^{12} + 14 {(x)}^{1} {(y)}^{13} + 1 {(x)}^{0} {(y)}^{14}$

Paso 4.3

Multiplica $x^{14}$ por $1$ .

$x^{14} + 14 {(x)}^{13} {(y)}^{1} + 91 {(x)}^{12} {(y)}^{2} + 364 {(x)}^{11} {(y)}^{3} + 1001 {(x)}^{10} {(y)}^{4} + 2002 {(x)}^{9} {(y)}^{5} + 3003 {(x)}^{8} {(y)}^{6} + 3432 {(x)}^{7} {(y)}^{7} + 3003 {(x)}^{6} {(y)}^{8} + 2002 {(x)}^{5} {(y)}^{9} + 1001 {(x)}^{4} {(y)}^{10} + 364 {(x)}^{3} {(y)}^{11} + 91 {(x)}^{2} {(y)}^{12} + 14 {(x)}^{1} {(y)}^{13} + 1 {(x)}^{0} {(y)}^{14}$

Paso 4.4

Simplifica.

$x^{14} + 14 x^{13} y + 91 {(x)}^{12} {(y)}^{2} + 364 {(x)}^{11} {(y)}^{3} + 1001 {(x)}^{10} {(y)}^{4} + 2002 {(x)}^{9} {(y)}^{5} + 3003 {(x)}^{8} {(y)}^{6} + 3432 {(x)}^{7} {(y)}^{7} + 3003 {(x)}^{6} {(y)}^{8} + 2002 {(x)}^{5} {(y)}^{9} + 1001 {(x)}^{4} {(y)}^{10} + 364 {(x)}^{3} {(y)}^{11} + 91 {(x)}^{2} {(y)}^{12} + 14 {(x)}^{1} {(y)}^{13} + 1 {(x)}^{0} {(y)}^{14}$

Paso 4.5

Simplifica.

$x^{14} + 14 x^{13} y + 91 x^{12} y^{2} + 364 x^{11} y^{3} + 1001 x^{10} y^{4} + 2002 x^{9} y^{5} + 3003 x^{8} y^{6} + 3432 x^{7} y^{7} + 3003 x^{6} y^{8} + 2002 x^{5} y^{9} + 1001 x^{4} y^{10} + 364 x^{3} y^{11} + 91 x^{2} y^{12} + 14 x {(y)}^{13} + 1 {(x)}^{0} {(y)}^{14}$

Paso 4.6

Multiplica ${(x)}^{0}$ por $1$ .

Paso 4.7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

Paso 4.8

Multiplica ${(y)}^{14}$ por $1$ .