Precálculo Ejemplos

${(2 x + 4 y)}^{5}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(2 x + 4 y)}^{5}$ , $n = 5$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $6$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $2 x$ y $b$ en la expresión $4 y$ .

$1 {(2 x)}^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(2 x)}^{5}$ por $1$ .

${(2 x)}^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$2^{5} x^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$32 x^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $4 y$ .

$32 x^{5} (4^{0} y^{0}) + 5 {(2 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 \cdot 4^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$32 \cdot 1 x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.7

Multiplica $32$ por $1$ .

$32 x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$32 x^{5} \cdot 1 + 5 {(2 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.9

Multiplica $32$ por $1$ .

$32 x^{5} + 5 {(2 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.10

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$32 x^{5} + 5 (2^{4} x^{4}) {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.11

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$32 x^{5} + 5 (16 x^{4}) {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.12

Multiplica $16$ por $5$ .

$32 x^{5} + 80 x^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.13

Simplifica.

$32 x^{5} + 80 x^{4} (4 y) + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.14

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 x^{5} + 80 \cdot 4 x^{4} y + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.15

Multiplica $80$ por $4$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 10 {(2 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.16

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 10 (2^{3} x^{3}) {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.17

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 10 (8 x^{3}) {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.18

Multiplica $8$ por $10$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 80 x^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.19

Aplica la regla del producto a $4 y$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 80 x^{3} (4^{2} y^{2}) + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.20

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 80 \cdot 4^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.21

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 80 \cdot 16 x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.22

Multiplica $80$ por $16$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.23

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 10 (2^{2} x^{2}) {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.24

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 10 (4 x^{2}) {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.25

Multiplica $4$ por $10$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 40 x^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.26

Aplica la regla del producto a $4 y$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 40 x^{2} (4^{3} y^{3}) + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.27

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 40 \cdot 4^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.28

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 40 \cdot 64 x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.29

Multiplica $40$ por $64$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.30

Simplifica.

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 5 (2 x) {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.31

Multiplica $2$ por $5$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 10 x {(4 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.32

Aplica la regla del producto a $4 y$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 10 x (4^{4} y^{4}) + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.33

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 10 \cdot 4^{4} x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.34

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 10 \cdot 256 x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.35

Multiplica $10$ por $256$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 2560 x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.36

Multiplica ${(2 x)}^{0}$ por $1$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 2560 x y^{4} + {(2 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.37

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 2560 x y^{4} + 2^{0} x^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.38

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 2560 x y^{4} + 1 x^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.39

Multiplica $x^{0}$ por $1$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 2560 x y^{4} + x^{0} {(4 y)}^{5}$

Paso 4.40

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 2560 x y^{4} + 1 {(4 y)}^{5}$

Paso 4.41

Multiplica ${(4 y)}^{5}$ por $1$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 2560 x y^{4} + {(4 y)}^{5}$

Paso 4.42

Aplica la regla del producto a $4 y$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 2560 x y^{4} + 4^{5} y^{5}$

Paso 4.43

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$32 x^{5} + 320 x^{4} y + 1280 x^{3} y^{2} + 2560 x^{2} y^{3} + 2560 x y^{4} + 1024 y^{5}$