Precálculo Ejemplos

${(- 1 - i)}^{7}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

${(- 1)}^{7} + 7 {(- 1)}^{6} (- i) + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$- 1 + 7 {(- 1)}^{6} (- i) + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.2

Multiplica ${(- 1)}^{6}$ por $- 1$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Mueve $- 1$ .

$- 1 + 7 (- {(- 1)}^{6}) i + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{6}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$- 1 + 7 ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{6}) i + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 + 7 {(- 1)}^{1 + 6} i + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.2.3

Suma $1$ y $6$ .

$- 1 + 7 {(- 1)}^{7} i + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$- 1 + 7 \cdot - 1 i + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.4

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$- 1 - 7 i + 21 \cdot - 1 {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.6

Multiplica $21$ por $- 1$ .

$- 1 - 7 i - 21 {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.7

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$- 1 - 7 i - 21 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 7 i - 21 (1 i^{2}) + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.9

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$- 1 - 7 i - 21 i^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.10

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 - 7 i - 21 \cdot - 1 + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.11

Multiplica $- 21$ por $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.13

Multiplica $35$ por $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.14

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.15

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 (- i^{3}) + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.16

Factoriza $i^{2}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 (- (i^{2} \cdot i)) + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.17

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 (- (- 1 \cdot i)) + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.18

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 (- - i) + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.19

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 (1 i) + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.20

Multiplica $i$ por $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.21

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i + 35 \cdot - 1 {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.22

Multiplica $35$ por $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.23

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.24

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 (1 i^{4}) + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.25

Multiplica $i^{4}$ por $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.26

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.26.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 {(i^{2})}^{2} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.26.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 {(- 1)}^{2} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.26.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 \cdot 1 + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.27

Multiplica $- 35$ por $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.28

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 \cdot 1 {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.29

Multiplica $21$ por $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.30

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 ({(- 1)}^{5} i^{5}) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.31

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 (- i^{5}) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.32

Factoriza $i^{4}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 (- (i^{4} i)) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.33

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.33.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 (- ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.33.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 (- ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.33.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 (- (1 i)) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.34

Multiplica $i$ por $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 (- i) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.35

Multiplica $- 1$ por $21$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.36

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.37

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 ({(- 1)}^{6} i^{6}) + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.38

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 (1 i^{6}) + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.39

Multiplica $i^{6}$ por $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 i^{6} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.40

Factoriza $i^{4}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 (i^{4} i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.41

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.41.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.41.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.41.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 (1 i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.42

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 i^{2} + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.43

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 \cdot - 1 + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.44

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 + {(- i)}^{7}$

Paso 2.1.45

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 + {(- 1)}^{7} i^{7}$

Paso 2.1.46

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - i^{7}$

Paso 2.1.47

Reescribe $i^{7}$ como $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

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Paso 2.1.47.1

Factoriza $i^{4}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - (i^{4} i^{3})$

Paso 2.1.47.2

Factoriza $i^{2}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

Paso 2.1.48

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.48.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Paso 2.1.48.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Paso 2.1.48.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - (1 (i^{2} \cdot i))$

Paso 2.1.49

Multiplica $i^{2} \cdot i$ por $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - (i^{2} \cdot i)$

Paso 2.1.50

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - (- 1 \cdot i)$

Paso 2.1.51

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - - i$

Paso 2.1.52

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 + 1 i$

Paso 2.1.53

Multiplica $i$ por $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 + i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Suma $- 1$ y $21$ .

$20 - 7 i + 35 i - 35 - 21 i + 7 + i$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Resta $35$ de $20$ .

$- 15 - 7 i + 35 i - 21 i + 7 + i$

Paso 2.2.2.2

Suma $- 15$ y $7$ .

$- 8 - 7 i + 35 i - 21 i + i$

Paso 2.2.3

Suma $- 7 i$ y $35 i$ .

$- 8 + 28 i - 21 i + i$

Paso 2.2.4

Resta $21 i$ de $28 i$ .

$- 8 + 7 i + i$

Paso 2.2.5

Suma $7 i$ y $i$ .

$- 8 + 8 i$