Precálculo Ejemplos

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Paso 1

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Paso 2

Sea $u = e^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $e^{x}$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} - 3 u + 2$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x}$ .

$(e^{x} - 2) (e^{x} - 1) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} - 1 = 0$

Paso 6

Establece $e^{x} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $e^{x} - 2$ igual a $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $e^{x} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{x} = 2$

Paso 6.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Paso 6.2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 6.2.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Paso 6.2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Paso 6.2.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Paso 7

Establece $e^{x} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $e^{x} - 1$ igual a $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $e^{x} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{x} = 1$

Paso 7.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Paso 7.2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 7.2.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Paso 7.2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Paso 7.2.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (1)$

Paso 7.2.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(e^{x} - 2) (e^{x} - 1) = 0$ verdadera.

$x = \ln (2), 0$