Precálculo Ejemplos

$\frac{x - 4}{x + 11} \geq \frac{1}{x - 1}$

Paso 1

Resta $\frac{1}{x - 1}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para escribir $\frac{x - 4}{x + 11}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{1}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 11) (x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{x - 4}{x + 11}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x - 1) (x + 11)} \geq 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x - 1) (x + 11)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Expande $(x - 4) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 1) - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5.2.2

Resta $4 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 1 \cdot 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5.5

Resta $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5.6

Resta $11$ de $4$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 7}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 2.5.7

Factoriza $x^{2} - 6 x - 7$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 7, 1$

Paso 2.5.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 11$

Paso 7

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = - 11$

$x = 1$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 7, - 1, - 11, 1$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 11) (x - 1) = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 10.2.2

Establece $x + 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Establece $x + 11$ igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

Paso 10.2.2.2

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 11$

Paso 10.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 10.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 10.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 11) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 11, 1$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 11) \cup (- 11, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 11$

$- 11 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 11$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 11$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 14$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 14$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 14) - 4}{(- 14) + 11} \geq \frac{1}{(- 14) - 1}$

Paso 12.1.3

$6$ del lado izquierdo es mayor que $- 0.0\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 11 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 11 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 6) - 4}{(- 6) + 11} \geq \frac{1}{(- 6) - 1}$

Paso 12.2.3

$- 2$ del lado izquierdo es menor que $- 0.\overline{142857}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) - 4}{(0) + 11} \geq \frac{1}{(0) - 1}$

Paso 12.3.3

$- 0.\overline{36}$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) - 4}{(4) + 11} \geq \frac{1}{(4) - 1}$

Paso 12.4.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $0.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 12.5.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\frac{(10) - 4}{(10) + 11} \geq \frac{1}{(10) - 1}$

Paso 12.5.3

$0.\overline{285714}$ del lado izquierdo es mayor que $0.\overline{1}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 11$ Verdadero

$- 11 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

$x < - 11$ Verdadero

$- 11 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 11$ o $- 1 \leq x < 1$ o $x \geq 7$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 11) \cup [- 1, 1) \cup [7, \infty)$

Paso 15