Precálculo Ejemplos

$x^{3} - x^{2} - 56 x < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} - x^{2} - 56 x = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - x^{2} - 56 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - x^{2} - 56 x = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- x) - 56 x = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $- 56 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 56 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- x)$ .

$x (x^{2} - x) + x \cdot - 56 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - x) + x \cdot - 56$ .

$x (x^{2} - x - 56) = 0$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x^{2} - x - 56$ con el método AC.

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Paso 2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 56$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 8, 7$

Paso 2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x ((x - 8) (x + 7)) = 0$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 8) (x + 7) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 5.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 6

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 6.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 8) (x + 7) = 0$ verdadera.

$x = 0, 8, - 7$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < 8$

$x > 8$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

${(- 10)}^{3} - {(- 10)}^{2} - 56 \cdot - 10 < 0$

Paso 9.1.3

$- 540$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{3} - {(- 4)}^{2} - 56 \cdot - 4 < 0$

Paso 9.2.3

$144$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{3} - {(4)}^{2} - 56 \cdot 4 < 0$

Paso 9.3.3

$- 176$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

${(10)}^{3} - {(10)}^{2} - 56 \cdot 10 < 0$

Paso 9.4.3

$340$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < 0$ Falso

$0 < x < 8$ Verdadero

$x > 8$ Falso

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < 0$ Falso

$0 < x < 8$ Verdadero

$x > 8$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 7$ o $0 < x < 8$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 7) \cup (0, 8)$

Paso 12