Precálculo Ejemplos

$y = 10^{x}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 10^{y}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $10^{y} = x$ .

$10^{y} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo en base $10$ de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\log (10^{y}) = \log (x)$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Expande $\log (10^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \log (10) = \log (x)$

Paso 2.3.2

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \log (x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \log (x)$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \log (x)$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \log (x)$ es la inversa de $f (x) = 10^{x}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} \cdot 10^{x}$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = \log (10^{x})$

Paso 4.2.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = x \log (10)$

Paso 4.2.4

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = x \cdot 1$

Paso 4.2.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\log (x))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\log (x)) = 10^{\log (x)}$

Paso 4.3.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\log (x)) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \log (x)$ es la inversa de $f (x) = 10^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \log (x)$