Precálculo Ejemplos

$y = 4 e^{x - 3}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 4 e^{y - 3}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $4 e^{y - 3} = x$ .

$4 e^{y - 3} = x$

Paso 2.2

Divide cada término en $4 e^{y - 3} = x$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $4 e^{y - 3} = x$ por $4$ .

$\frac{4 e^{y - 3}}{4} = \frac{x}{4}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 e^{y - 3}}{4} = \frac{x}{4}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $e^{y - 3}$ por $1$ .

$e^{y - 3} = \frac{x}{4}$

Paso 2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y - 3}) = \ln (\frac{x}{4})$

Paso 2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Expande $\ln (e^{y - 3})$ ; para ello, mueve $y - 3$ fuera del logaritmo.

$(y - 3) \ln (e) = \ln (\frac{x}{4})$

Paso 2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y - 3) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{4})$

Paso 2.4.3

Multiplica $y - 3$ por $1$ .

$y - 3 = \ln (\frac{x}{4})$

Paso 2.5

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (\frac{x}{4}) + 3$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{4}) + 3$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{4}) + 3$ es la inversa de $f (x) = 4 e^{x - 3}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (4 e^{x - 3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = \ln (\frac{4 e^{x - 3}}{4}) + 3$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = \ln (\frac{4 e^{x - 3}}{4}) + 3$

Paso 4.2.3.1.2

Divide $e^{x - 3}$ por $1$ .

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = \ln (e^{x - 3}) + 3$

Paso 4.2.3.2

Usa las reglas de logaritmos para mover $x - 3$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = (x - 3) \ln (e) + 3$

Paso 4.2.3.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = (x - 3) \cdot 1 + 3$

Paso 4.2.3.4

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = x - 3 + 3$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 3 + 3$ .

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Paso 4.2.4.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (4 e^{x - 3}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\ln (\frac{x}{4}) + 3)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{4}) + 3) = 4 e^{(\ln (\frac{x}{4}) + 3) - 3}$

Paso 4.3.3

Combina los términos opuestos en $(\ln (\frac{x}{4}) + 3) - 3$ .

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Paso 4.3.3.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (\ln (\frac{x}{4}) + 3) = 4 e^{\ln (\frac{x}{4}) + 0}$

Paso 4.3.3.2

Suma $\ln (\frac{x}{4})$ y $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{4}) + 3) = 4 e^{\ln (\frac{x}{4})}$

Paso 4.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{x}{4}) + 3) = 4 (\frac{x}{4})$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\ln (\frac{x}{4}) + 3) = 4 (\frac{x}{4})$

Paso 4.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\ln (\frac{x}{4}) + 3) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{4}) + 3$ es la inversa de $f (x) = 4 e^{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{4}) + 3$