Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{108} + \frac{y^{2}}{144} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{108} + \frac{y^{2}}{144} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 12$

$b = 6 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 5

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} - {(6 \sqrt{3})}^{2}}}{12}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - {(6 \sqrt{3})}^{2}}}{12}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla del producto a $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{144 - (6^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{12}$

Paso 6.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - (36 {\sqrt{3}}^{2})}}{12}$

Paso 6.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{144 - (36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{12}$

Paso 6.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{12}$

Paso 6.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{12}$

Paso 6.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{12}$

Paso 6.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3^{1})}}{12}$

Paso 6.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3)}}{12}$

Paso 6.1.5

Multiplica $- (36 \cdot 3)$ .

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Paso 6.1.5.1

Multiplica $36$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{144 - 1 \cdot 108}}{12}$

Paso 6.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $108$ .

$\frac{\sqrt{144 - 108}}{12}$

Paso 6.1.6

Resta $108$ de $144$ .

$\frac{\sqrt{36}}{12}$

Paso 6.1.7

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{12}$

Paso 6.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{6}{12}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $6$ y $12$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 (1)}{12}$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 7