Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$ .

$x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Reagrupa los términos.

$- x^{3} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $- x$ de $- x^{3} + 2 x$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Factoriza $- x$ de $2 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 2 + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Paso 1.2.2.2.3

Factoriza $- x$ de $- x (x^{2}) - x (- 2)$ .

$- x (x^{2} - 2) + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 24 = 0$

Paso 1.2.2.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 2) + u^{2} - 14 u + 24 = 0$

Paso 1.2.2.5

Factoriza $u^{2} - 14 u + 24$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $24$ y cuya suma es $- 14$ .

$- 12, - 2$

Paso 1.2.2.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- x (x^{2} - 2) + (u - 12) (u - 2) = 0$

Paso 1.2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 1.2.2.7

Factoriza $x^{2} - 2$ de $- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ .

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Paso 1.2.2.7.1

Factoriza $x^{2} - 2$ de $- x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 1.2.2.7.2

Factoriza $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12) = 0$

Paso 1.2.2.7.3

Factoriza $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12)$ .

$(x^{2} - 2) (- x + x^{2} - 12) = 0$

Paso 1.2.2.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} - 2) (- u + u^{2} - 12) = 0$

Paso 1.2.2.9

Factoriza $- u + u^{2} - 12$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3$

Paso 1.2.2.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{2} - 2) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.10

Factoriza.

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Paso 1.2.2.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 1.2.4.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.4.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 1.2.4.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 1.2.4.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 1.2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 1.2.6

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 3$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 \cdot 0^{2} + 2 (0) + 24$

Paso 2.2.4

Elimina los paréntesis.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Paso 2.2.5

Simplifica ${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$ .

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Paso 2.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Paso 2.2.5.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Paso 2.2.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

Paso 2.2.5.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 0 - 14 \cdot 0 + 2 (0) + 24$

Paso 2.2.5.1.5

Multiplica $- 14$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 2 (0) + 24$

Paso 2.2.5.1.6

Multiplica $2$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 24$

Paso 2.2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.5.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 24$

Paso 2.2.5.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 + 24$

Paso 2.2.5.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 24$

Paso 2.2.5.2.4

Suma $0$ y $24$ .

$y = 24$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 24)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 24)$

Paso 4